45、数值积分方法：自适应求积与均方根电流计算

数值积分方法：自适应求积与均方根电流计算

1. 高斯求积法的局限性与自适应求积法的引入

高斯求积法在积分区间内需要在非均匀间隔的点上进行函数求值，因此对于函数未知的情况并不适用，也不适用于处理列表数据的工程问题。不过，当函数已知时，其效率具有明显优势，特别是在需要进行大量积分计算的情况下。

虽然龙贝格积分比复合辛普森 1/3 法则更高效，但两者都使用等间距的点。这种约束没有考虑到一些函数在某些区域变化相对剧烈，可能需要更精细的间距。为了达到所需的精度，即使只在变化剧烈的区域需要精细间距，也必须在整个区间应用精细间距。自适应求积法通过自动调整步长来解决这个问题，在函数变化剧烈的区域采用小步长，在函数变化平缓的区域采用大步长。

2. 自适应求积法的原理与实现

自适应求积法考虑到许多函数既有变化剧烈的区域，也有变化平缓的区域。它通过调整步长，在函数快速变化的区域使用小间隔，在函数变化平缓的区域使用大间隔。许多自适应求积技术基于将复合辛普森 1/3 法则应用于子区间，类似于在理查森外推中使用复合梯形法则的方式。具体步骤如下：
1. 对区间 $x = a$ 到 $x = b$，宽度为 $h_1 = b - a$，使用辛普森 1/3 法则进行第一次积分估计：
- $I(h_1) = \frac{h_1}{6} [ f(a) + 4 f(c) + f(b)]$，其中 $c = (a + b)/2$。
2. 像理查森外推一样，通过将步长减半获得更精细的估计：
- 应用 $n = 4$ 的复合辛普森 1/3 法则，$I(h_2) = \frac{h_2}{6} [ f(a) + 4 f(d) + 2 f(c) + 4 f(e) + f