43、数值积分在工程与科学计算中的应用及高效方法

数值积分在工程与科学计算中的应用及高效方法

1. 工作计算与数值积分背景

在工程和科学的众多领域中，工作计算是一个重要组成部分。其通用公式为：工作 = 力 × 距离。在高中物理中，我们接触到的是位移过程中力保持恒定的简单应用。例如，用 10 N 的力将一个木块拉动 5 m，所做的功就是 50 J（1 焦耳 = 1 N·m）。

然而，实际问题往往更为复杂。若在计算过程中力是变化的，工作方程就需重新表示为：
[W = \int_{x_0}^{x_n} F(x) dx]
其中，(W) 是工作（J），(x_0) 和 (x_n) 分别是初始和最终位置（m），(F(x)) 是随位置变化的力（N）。如果 (F(x)) 易于积分，上述方程可通过解析法求解。但在实际情况中，力可能无法以这种简单形式表达，甚至只能以表格形式提供测量数据，此时数值积分便是唯一可行的评估方法。

若力与运动方向之间的夹角也随位置变化，工作方程还需进一步修改为：
[W = \int_{x_0}^{x_n} F(x) \cos[\theta(x)] dx]
同样，若 (F(x)) 和 (\theta(x)) 是简单函数，该方程可解析求解。但通常情况下，函数关系较为复杂，数值方法成为确定积分的唯一选择。

2. 案例分析

假设要对一个变力作用于木块的情况进行计算，如图 19.18 所示，力的大小和角度都在变化。由于实验限制，我们仅获得了间隔为 5 m 的离散测量数据，如下表所示：
| (x) (m) | (F(x)) (N) | (\theta) (rad) | (F(x) \cos \theta) |
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