32、线性回归：从基础到应用

线性回归：从基础到应用

1. 非线性关系的线性化

线性回归是一种强大的技术，可用于为数据拟合最佳直线。然而，它的前提是因变量和自变量之间的关系是线性的，但实际情况并非总是如此。在进行任何回归分析时，第一步应该是绘制并直观检查数据，以确定线性模型是否适用。

1.1 非线性模型示例

• 指数模型 ：$y = α_1e^{β_1x}$，其中$α_1$和$β_1$为常数。该模型用于描述许多工程和科学领域中按自身大小成比例增加（$β_1$为正）或减少（$β_1$为负）的量，例如人口增长或放射性衰变。
• 简单幂方程 ：$y = α_2x^{β_2}$，$α_2$和$β_2$为常数系数。此模型在所有工程和科学领域都有广泛应用，常用于拟合未知底层模型的实验数据。
• 饱和增长率方程 ：$y = α_3\frac{x}{β_3 + x}$，$α_3$和$β_3$为常数系数。该模型特别适合描述有限条件下的人口增长率，随着$x$的增加，$y$与$x$之间的关系会趋于平稳或“饱和”，在生物相关的工程和科学领域有很多应用。

1.2 线性化方法

虽然有非线性回归技术可直接将这些方程拟合到实验数据，但更简单的方法是通过数学变换将方程转化为线性形式，然后使用线性回归进行拟合。
- 指数模型线性化 ：对$y = α_1e^{β_1x}$取自然对数，得到$ln y = ln α_1 + β_1x$。绘制$ln y$与$x$的关系图将得到一条斜率