29、特征值与振动系统的分析与应用

特征值与振动系统的分析与应用

1. 质量 - 弹簧系统的物理模型

在研究振动相关的系统时，质量 - 弹簧系统是一个非常有用的模型。为了简化分析，我们做出以下假设：
- 每个质量块不受外部力和阻尼力的作用。
- 每个弹簧在静止时具有相同的自然长度 (l) 和相同的弹簧常数 (k)。
- 每个弹簧的位移是相对于其自身的局部坐标系测量的，原点位于弹簧的平衡位置。

1.1 动力学方程推导

对于一个两质量、三弹簧系统，根据牛顿第二定律，可以为每个质量块建立动态力平衡方程：
[m_1\frac{d^2x_1}{dt^2} = -kx_1 + k(x_2 - x_1)]
[m_2\frac{d^2x_2}{dt^2} = -kx_2 + k(x_1 - x_2)]

将上述方程整理成矩阵形式：
[\frac{d^2x}{dt^2} =
\begin{bmatrix}
-\frac{2k}{m_1} & \frac{k}{m_1} \
\frac{k}{m_2} & -\frac{2k}{m_2}
\end{bmatrix}
x]

1.2 特征值与频率计算

通过求解特征方程，可以得到系统的特征值 (\lambda)：
[\begin{vmatrix}
-\frac{2k}{m_1} - \lambda & \frac{k}{m_1} \
\frac{k}{m_2} & -\frac{2k}{m_2} - \lambda
\end{vmatrix} =