23、三对角系统及相关应用的深入解析

三对角系统及相关应用的深入解析

1. 三对角系统概述

三对角系统的带宽为 3，通常可表示为特定形式。为避免在方阵中存储大量无用的零元素，系数的表示符号从 a 和 b 改为 e、f、g 和 r。这种节省空间的改进很有优势，因为由此产生的算法所需的计算机内存更少。

求解三对角系统的算法可直接仿照高斯消元法，即使用前向消元和回代法。但由于矩阵的大部分元素已经为零，与处理满矩阵相比，所需的计算量要少得多。

2. 三对角系统求解示例

下面通过一个具体的三对角系统求解示例来详细说明求解过程。
问题描述 ：求解以下三对角系统
[
\begin{bmatrix}
2.04 & -1 & 0 & 0 \
-1 & 2.04 & -1 & 0 \
0 & -1 & 2.04 & -1 \
0 & 0 & -1 & 2.04
\end{bmatrix}
\begin{cases}
x_1 \
x_2 \
x_3 \
x_4
\end{cases}
=
\begin{cases}
40.8 \
0.8 \
0.8 \
200.8
\end{cases}
]
求解步骤 ：
1. 将矩阵转换为上三角形式 ：
- 如同高斯消元法，第一