5、核谱聚类驱动的运动分割与多元时间序列预测新方法

核谱聚类驱动的运动分割与多元时间序列预测新方法

核谱聚类驱动的运动分割

在运动分割领域，一种基于核谱聚类（KSC）的方法展现出了强大的潜力。

首先，定义非负矩阵为 $\Omega$，数据矩阵 $X$ 以每一行为一个帧构成，即 $x_i$ 表示第 $i$ 帧的坐标向量。对于一个包含 $N_f$ 个元素的序列 ${X (0), \ldots, X (N_f -1)}$，整个（帧）数据矩阵为 $X = (x_1^{\top}, \ldots, x_{N_f}^{\top})^{\top}$，其中 $x_t = vec(X (t))$，$t \in {1, \ldots, N_f}$，$vec(\cdot)$ 是向量化算子。

此时，相关方程转化为一个能量最大化问题：
[
\begin{align }
\max_{U} tr(U^{\top}\Omega^{\top}\Omega U);\
s.t. U^{\top}U = I_{n_e}.
\end{align }
]
正交旋转矩阵 $U \in R^{N\times n_e}$ 使得核矩阵的线性变换形式为 $Z = \Omega U$，$Z \in R^{N\times n_e}$。通过特定步骤可得出 $tr(U^{\top}\Omega^{\top}\Omega U) = tr(\Lambda^2)$，问题的合适解为 $U = A$。排名向量 $\eta \in R^{N}$ 可表示为向量 $\alpha(l)$ 的线性组合：
[
\eta = \sum_{l=1}^{n_e} \lambda_l\alpha(l) \cir