14、数值计算中的根查找方法：二分法与假位法解析

数值计算中的根查找方法：二分法与假位法解析

在数值计算领域，根查找是一个关键的问题，特别是在解决各种方程时。本文将深入探讨两种常用的根查找方法：二分法（Bisection）和假位法（False Position），并通过实际案例展示它们的应用。

1. 根查找的初步认识

在进行根查找时，像增量搜索这样的暴力方法并非万无一失。为了更准确地定位根，我们需要结合其他信息，比如绘制函数图像，以及理解方程所源自的物理问题。这些额外的信息能帮助我们更精准地确定根的位置。

2. 二分法详解

二分法是增量搜索方法的一种变体，其核心思想是将区间不断地一分为二。当函数在某个区间内改变符号时，我们会计算该区间中点的函数值，然后根据符号变化确定根所在的子区间，这个子区间将成为下一次迭代的区间。重复这个过程，直到达到所需的精度。

2.1 二分法示例

假设我们要解决一个问题，通过二分法找到函数的根。已知函数在 50 和 200 之间改变符号，我们先取这两个值作为初始猜测。
- 第一步，计算初始根的估计值：
- (xr = \frac{50 + 200}{2} = 125)
- 已知根的精确值为 142.7376，计算此时的真实相对误差：
- (\vert\varepsilon_t\vert = \vert\frac{142.7376 - 125}{142.7376}\vert\times 100\% = 12.43\%)
- 第二步，计算下限和中点的函数值的乘积：
- (f(50)f(125) = -4.579\times(-0.409) = 1.871)
- 由于乘积大于