12、数值误差分析与控制

数值误差分析与控制

1. 有限差分近似

在数值计算中，有限差分近似是一种常用的方法来估计导数。对于不同的步长，中心差分近似通常比向前或向后差分更准确。根据泰勒级数分析，将步长减半时，向后和向前差分的误差大约减半，而中心差分的误差则变为原来的四分之一。

除了一阶导数，泰勒级数展开还可以用于推导高阶导数的数值估计。以二阶导数为例，其向前有限差分公式为：
[f’‘(x_i) = \frac{f(x_{i + 2}) - 2f(x_{i + 1}) + f(x_i)}{h^2} + O(h)]
向后有限差分公式为：
[f’‘(x_i) = \frac{f(x_i) - 2f(x_{i - 1}) + f(x_{i - 2})}{h^2} + O(h)]
中心差分近似公式为：
[f’‘(x_i) = \frac{f(x_{i + 1}) - 2f(x_i) + f(x_{i - 1})}{h^2} + O(h^2)]
同样，中心差分的情况更为准确。并且，中心差分公式还可以表示为两个一阶有限差分的差，这与二阶导数是一阶导数的导数相呼应。

2. 总数值误差

总数值误差是截断误差和舍入误差的总和。一般来说，减少舍入误差的唯一方法是增加计算机的有效数字位数。而截断误差可以通过减小步长来降低，但减小步长可能会导致减法抵消或计算量增加，从而使舍入误差增大。

这就带来了一个两难的问题：减少总误差的一个组成部分的策略会导致另一个组成部分的增加。在计算中，我们可能会为了最小化截断误差而减小步长，但却发现舍入误差开始主导结果，导致总误差增大。因此，我们面临的挑战是为特定的计算确定合适的步长，既要选择较大的步