2、数值方法：原理、应用与实践

数值方法：原理、应用与实践

1. 数值方法的动机与重要性

1.1 数值方法的定义

数值方法是将数学问题进行公式化，使其能够通过算术和逻辑运算来求解的技术。由于数字计算机擅长执行此类运算，数值方法有时也被称为计算机数学。

1.2 学习数值方法的原因

学习数值方法不仅有助于提升整体教育水平，还有以下几个重要原因：
1. 扩展问题解决能力 ：能够处理工程和科学中常见的大型方程组、非线性问题和复杂几何问题，这些问题通常无法用标准微积分进行解析求解，从而大大增强解决问题的能力。
2. 深入使用“现成”软件 ：在职业生涯中，不可避免地会使用涉及数值方法的商业预包装计算机程序。理解数值方法的基本理论能更明智地使用这些程序，避免将其视为“黑匣子”，增强对其内部工作原理和结果有效性的批判性洞察。
3. 自主解决特定问题 ：许多问题无法通过现成程序解决。如果熟悉数值方法并擅长计算机编程，就可以设计自己的程序来解决问题，而无需购买或委托开发昂贵的软件。
4. 高效学习计算机使用 ：数值方法专为计算机实现而设计，是学习计算机功能和局限性的理想工具。成功在计算机上实现数值方法并应用于解决难题，能直观展示计算机对专业发展的帮助，同时学会认识和控制大规模数值计算中不可避免的近似误差。
5. 加深数学理解 ：数值方法的一个功能是将高等数学简化为基本算术运算，能深入理解一些原本晦涩的数学主题，从另一个角度增强对数学的理解和洞察。