30、非平衡态热力学中的自然投影与几何框架

非平衡态热力学中的自然投影与几何框架

1. 自然投影方法概述

在非平衡统计热力学中，我们常常希望通过相对简单的计算来获取关键信息，而非推导完整的形式。例如，纳维 - 斯托克斯方程的形式可以从粒子自由运动的最简单模型推导得出，此时粗粒化可替代碰撞过程。然而，有限粗粒化时间带来的限制是构建一致的非平衡统计热力学公式的主要难题。直观上，这需要取极限 $\tau \to \infty$，让微观动力学充分发展所有相关的关联，而非在有限的 $\tau$ 处截断。

不过，当方程 (11.33) 为线性形式 $\partial_t f = Lf$，且准平衡态是宏观变量 $M$ 的线性函数时，“$\tau \to \infty$ 问题” 能轻易解决。这是线性不可逆热力学的经典情况，我们考虑平衡态 $f_{eq}$ 附近的线性宏观动力学，满足 $Lf_{eq} = 0$。为简化起见，假设宏观变量 $M$ 在平衡态时为零，且进行归一化处理，使得 $m(f_{eq}m^{\dagger}) = 1$（其中 $\dagger$ 表示转置，$1$ 为适当的单位算子）。此时，宏观变量 $M$ 的线性动力学形式为 $\partial_t M = RM$，其中线性算子 $R$ 由粗粒化条件 (11.35) 在 $\tau \to \infty$ 时确定：
[R = \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \ln \left[m\left(e^{\tau L}f_{eq}m^{\dagger}\right)\right]]
此公式 (11.39) 与格林 - 久保公式相关，格林 - 久保公式为：
[R_{GK} = \int_{0}^{\infty} \langle \