3、动力学与热力学中的不变流形方法及应用

动力学与热力学中的不变流形方法及应用

1. 核心问题与方法概述

在动力学与热力学的研究中，存在两个相互关联的核心问题：准确性估计问题和后处理问题。为解决这些问题，提出了多种后处理和准确性估计的算法，并给出了应用示例。

这些方法和算法可融入计算机辅助多尺度分析技术，实现微观与宏观层面的“层级跳跃”。既适用于从微观方程过渡到宏观方程的传统技术，也适用于“无方程”方法。“无方程”方法在成功时，可绕过宏观演化方程的推导，直接利用微观模拟器完成系统层面的任务。

2. 主要内容模块

2.1 基础概念与方程引入

• 动力学方程 ：包括玻尔兹曼方程、化学动力学方程和福克 - 普朗克方程。同时介绍了这些方程的主要简化方法，如查普曼 - 恩斯库格方法、希尔伯特方法、准平衡和准稳态近似。
• 不变性方程 ：以微分形式写出不变性方程，它给出了浸入动力系统相空间的流形不变性的必要条件。为估计假设流形的差异，定义了不变性缺陷，引入该缺陷需要投影场。不变性缺陷、投影场和不变性方程在整个研究中起着核心作用。

2.2 慢正不变流形的定义

第4章致力于定义正不变流形的慢度，讨论了浸入动力系统相空间的流形（“薄膜”）的运动方程。慢正不变流形被定义为该运动的稳定不动点，第3章引入的投影场对稳定性的定义至关重要。

2.3 热力学结构的引入

第5章引入了主要的热力学结构，包括熵、熵标量积、准平衡和热力学投影算子。准平衡流形是给定宏观变量值下条件熵极大值的流形，这些值对该流