32、不可逆性的几何：非平衡态的探索

不可逆性的几何：非平衡态的探索

不可逆性问题概述

不可逆性问题涉及多个方面，其中一个关键方面是初始条件的特殊选择。时间箭头大致由准平衡初始条件存在于过去这一事实所定义。然而，从可逆方程过渡到不可逆宏观方程的问题，远不止这一简单观察。

弱收敛与强收敛到平衡态

分布函数根据宏观方程趋于平衡态存在强弱两种趋势。宏观方程下，分布函数以强收敛的方式趋于平衡态，即与平衡态的偏差在大多数相关范数意义下趋于零（如 $L^1$ 范数或一致收敛）。而对于刘维尔方程，趋于平衡态（如果存在的话）仅以弱收敛的方式进行，即相空间上足够“规则”函数的平均值趋于其平衡值，但分布函数本身在任何范数意义下（甚至逐点意义下）都不趋于平衡态。例如，当初始状态是相空间某个小的有界子集上的均匀分布（“相滴”）时，相滴会在相空间中混合，但密度始终只有两个值 0 和 $p>0$，且密度大于零的集合体积不随时间变化。

为了从弱收敛过渡到强收敛，有两种基本方法：埃伦费斯特斯（Ehrenfests）意义下的粗粒化（“摇晃”）和短记忆近似。埃伦费斯特斯考虑将相空间划分为小单元格，并提出用“摇晃”来补充刘维尔方程下相空间系综的运动，即对系综在相单元格上的密度进行平均。通过这个过程，从弱收敛变为强收敛。可以认识到，在相单元格上具有恒定密度的系综是准平衡态，相应的宏观变量是相单元格上密度的积分（单元格的“占据数”）。这可以推广为：微观方程下相系综的运动与返回准平衡流形交替进行，同时保持宏观变量的值不变。

主观时间与不可逆性

在讨论中，时间箭头的来源归根结底是实验者主观时间的不对称性。我们准备初始条件，然后观察未来会发生什么，而不是过去发生了什么。因此，我们得到了针对特