18、玻尔兹曼碰撞算子与流体动力学中的方法研究

玻尔兹曼碰撞算子与流体动力学中的方法研究

玻尔兹曼碰撞算子的自伴线性化

在研究有限维系统的准化学形式时，我们发现其在很多重要情况下向无限维的推广几乎是直接的，往往只需将求和替换为积分。其中，玻尔兹曼碰撞积分就是一个典型例子，每个速度 $v$ 对应一种准物质 $A_v$，碰撞可用化学计量方程 $A_v + A_w \rightleftharpoons A_{v’} + A_{w’}$ 来描述。

在热力学非平衡态附近的运动分解会导致向该状态的线性弛豫。对于玻尔兹曼方程，我们可以明确构建这种弛豫的线性算子。

从熵的角度来看，平衡态有两种定义方式。从热力学角度，平衡态是熵达到最大值的状态；从动力学角度，在向该状态的线性回归过程中，熵的二次型会增加。若微观动力学具有时间可逆性，由于线性化动力学算子的对称性，动力学角度的定义得以实现。

在大多数近平衡研究中，将运动分解为快速和慢速运动的原则占据重要地位。在某些特殊情况下，会通过在动力学方程中引入小参数来明确考虑运动分解；更常见的是，它会通过一些隐含方式起作用，例如在投影算子形式中假设记忆的快速衰减。即使存在长寿命的动力学效应（模式耦合），为了得到慢变量的封闭方程组，也需要运动分解的假设。

然而，对于封闭系统，存在一个问题：上述两种与熵相关的观点在多大程度上适用于非平衡态？如果适用，又如何明确地进行相应的描述？

在不变流形方法的框架下，这个问题得到了部分解答。我们研究的对象是分布函数空间中的流形，目标是从一个不具备特定性质的初始流形开始，迭代构建一个在所有点都与耗散系统的向量场相切的流形（不变流形）。自然地，我们采用了 KAM 理论的方法（牛顿型线性迭代来改进初始流形），但为了将 KA