47、物理信息机器学习：方法与应用

物理信息机器学习：方法与应用

1. 物理信息机器学习概述

物理信息机器学习将机器学习的多个关键方面结合起来，用于解决科学和工程中的建模问题。机器学习过程可分为以下几个关键阶段，每个阶段都提供了嵌入或强化先验物理知识的机会：
1. 问题建模 ：明确需要建模的问题。
2. 数据收集与整理 ：收集并整理用于训练模型的数据。
3. 架构选择 ：选择最能表示或建模数据的架构。
4. 损失函数设计 ：设计损失函数以评估模型性能并指导学习过程。
5. 优化算法选择与实现 ：选择并实现优化算法，以在训练数据上最小化损失函数。

这些技术通常涉及神经网络的训练，神经网络表示为 $f_θ(x)$，其中 $θ$ 是神经网络的权重，$f(·)$ 表征网络架构（层数、结构、正则化器）。权重 $θ$ 经过优化，以在训练数据 $X$ 上最小化损失函数：
$θ^* = argmin_θ L(θ, X)$

简约性一直是物理建模的指导原则，倾向于使用最简单的模型来描述数据，以避免过拟合并促进泛化。在现代机器学习中，简约性仍然是构建可解释和可泛化模型的指导原则，可通过以下方式实现：
- 低维坐标系
- 控制方程的稀疏表示
- 捕捉参数依赖性

2. 数学基础

2.1 数据驱动模型

数据驱动模型是科学和工程领域新兴且重要的范式，为物理系统的虚拟实例化（即数字孪生）提供了基础数学框架