13、数学物理中的不变性分析、对称约化、守恒定律及分数阶模型求解

数学物理中的不变性分析、对称约化、守恒定律及分数阶模型求解

1. 巴克马斯特方程的不变性分析与守恒定律

1.1 巴克马斯特方程的伴随系统与守恒通量

巴克马斯特方程是数学物理中一个著名的二阶非线性模型。对于方程中依赖于 (x) 和 (t) 的非物理变量 (v(x, t))，其对应方程的伴随系统为：
(F^* = \frac{\delta L}{\delta u} = -3u^2v_x - p_t - 4u^3v_{xx} = 0)

由此可得巴克马斯特方程的伴随方程为 (3u^2v_x - v_t - 4u^3v_{xx})。

对于不同的向量场，其特征函数和守恒通量如下：
- 向量场 (V_1 = x\frac{\partial}{\partial x} - t\frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial u})
- 特征函数：(W = u - xu_x + tu_t)
- 守恒通量：
(T^t = -t(u_t - 12u^2u_x^2 - 4u^3u_{xx} - 3u^2u_x)v + v(u - xu_x + tu_t))
(T^x = xv(u_t - 12u^2u_x^2 - 4u^3u_{xx} - 3u^2u_x) - (u - xu_x + tu_t)[3vu^2 - 4u^3v(-xu_{xx} + tu_{xt}) - 12u^2vu_x(u - xu_x + tu_t)])
- 向量场 (V_2 = \frac{\partial}{\partial