8、物理中的混沌与狄拉克δ函数

物理中的混沌与狄拉克δ函数

在物理学的研究中，对称性与守恒定律、混沌现象以及狄拉克δ函数等概念都占据着重要的地位。下面将详细介绍这些内容。

对称性与守恒定律

在物理学里，对称性和守恒定律之间存在着紧密的联系。平移对称性会导致动量守恒，而在中心场中的旋转对称性则会导致角动量守恒。在场论中，这种联系有着极为重要的应用，它能给出守恒流。

混沌现象

法国伟大的数学家皮埃尔 - 西蒙·拉普拉斯受到经典力学的启发，提出了具有深远影响的决定论概念。他认为：“我们可以把宇宙的当前状态看作是其过去的结果和未来的原因。”

然而，在现实生活的经典事件中，混沌和不确定性是普遍存在的，这是因为我们无法精确地知晓初始条件。对于任何具有 (n) 个自由度的动力学系统，都可以用一组哈密顿一阶微分方程来描述：
(\frac{dx_i}{dt} = \varphi_i(x_1, x_2, \cdots, x_n)) （2.131）

当初始条件稍有不同时，即 (x_i \to x_i + \Delta x_i)，通过对哈密顿方程进行一阶展开，我们可以得到：
(\frac{d\Delta x_i}{dt} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j} \Delta x_j) （2.132）

我们想要了解偏差 (\Delta x_i) 随时间的演化情况，而这一结果取决于具体的问题。对于一个可积系统，它可以用独立的运动常量来描述，所有的 (\Delta x_i) 都必须保持有界。更一般地，我们可以假设 (\varphi_i) 是其自变量的解析函数，并且