40、河流泥沙输运相关理论与模型解析

河流泥沙输运相关理论与模型解析

1. 泥沙悬浮相关理论

在河流泥沙输运过程中，泥沙悬浮现象至关重要。均方根速度 (u_{rms}) 与泥沙悬浮密切相关，其计算公式为：
[u_{rms}^2 = \frac{1}{3}(u’^2 + v’^2 + w’^2)]
其中，上标撇号表示速度的波动分量。为使泥沙显著悬浮，近床面的 (u_{rms}) 必须超过泥沙沉降速度 (v_s)。由于湍流存在紧密关联，均方根速度与雷诺应力之间存在近似关系：
[u_{rms}^2 \sim \frac{\tau_{xz}}{\rho} = -u’w’]
对于粗糙湍流，剪切速度 (u_ ) 可按如下方式估算：
[u_ ^2 = -u’w’| {z = b}]
这里，(b) 代表近床面高度，且 (b \ll H)，(H) 为水流深度。由此可得 (u {rms} \sim u_*)。

Bagnold 提出了泥沙显著悬浮起始的判据：
[u_{ {sus}} = v_s]
将上式两边同时除以 (\sqrt{RgD}) 并平方，可得到泥沙悬浮所需的希尔兹应力关系：
[\tau { {sus}} = \frac{v_s^2}{Rgd}]
泥沙沉降速度 (v_s) 是颗粒雷诺数 (R {ep} = \frac{\sqrt{RgD}D}{\nu}) 的函数。Dietrich 给出了估算天然颗粒沉降速度 (v_s) 的关系式：
[D^ = \log(R_{ep}^2) = \log(\frac{RgD^3}{\nu})]
[\log(W^ ) = -3.76 + 1.93D^ - 0.098D^{ 2} - 0.00575D^{ 3} + 0.00056D^{ 4}]
[v_s = (Rg\nu W^*)^{\frac{1}{3}}]

2. 希尔兹图

Albert Frank Shields 在泥沙起动和推移质输运方面的研究具有里程碑意义，其提出的希尔兹图展示了无量纲临界应力 (\tau_{ c}) 与剪切雷诺数 (\frac{u D}{\nu}) 之间的关系。然而，原始的希尔兹图使用不便，因为要确定 (\tau_c)，需先知道 (u_ = \sqrt{\frac{\tau_c}{\rho}})。通过绘制 (\tau_{ c}) 与 (R {ep}) 的关系图，可将该关系明确表示出来，其中存在关系：
[\frac{u_ D}{\nu} = \frac{u_ }{\sqrt{RgD}}\frac{\sqrt{RgD}D}{\nu} = \sqrt{\tau_ R_{ep}}]
Brownlie 给出了希尔兹数据的拟合公式：
[\tau_{ c} = 0.22R {ep}^{-0.6} + 0.06\exp(-17.77R_{ep}^{-0.6})]
基于大量现场观测发现，对于砾石河床河流的完全粗糙流，希尔兹图会使 (\tau_{ c}) 高估两倍。因此，Parker 等人对上述公式进行了修正：
[\tau { c} = 0.5(0.22R {ep}^{-0.6} + 0.06\exp(-17.77R_{ep}^{-0.6}))]

希尔兹图还可扩展为河流的“状态”图。通过分析该图，可得到以下结论：
- 沙质河床和砾石河床河流的数据分布在不同组。
- 砾石河床河流在满岸条件下的希尔兹应力往往较低。
- 即使在满岸条件下，砾石河床河流通常也不会形成沙丘。
- 在洪水期间，沙质河床河流的希尔兹应力可比 (\tau_{*_c}) 大两个数量级，导致强烈的泥沙输运。
- 沙质河床河流中，大部分泥沙以悬移质形式输运，而砾石河床河流则以推移质输运为主。

3. 埃克纳方程

奥地利科学家埃克纳首次以定量方式描述了河流泥沙的形态动力学问题，其提出的河流河床泥沙质量守恒方程即埃克纳方程。考虑单位宽度的河段，坐标 (x) 表示水流方向，(\eta) 表示河床高程，(q_b) 表示单位宽度、单位时间的推移质输运率，(D_s) 为悬移质沉积率，(E_s) 为悬移质侵蚀率。在控制体积内，泥沙质量守恒方程为：
[\frac{\partial}{\partial t}[\rho_s(1 - \lambda_p)\eta]\Delta x = \rho_s(q_b| x - q_b| {x + \Delta x}) + (D_s - E_s)\Delta x]
若假设河床孔隙率 (\lambda_p) 不随时间变化，当 (\Delta x \to 0) 时，上式简化为：
[(1 - \lambda_p)\frac{\partial\eta}{\partial t} = -\frac{\partial q_b}{\partial x} + D_s - E_s]
该方程可与圣维南方程或渐变流方程联立求解，以预测河床的淤积或侵蚀情况。为考虑泥沙的横向输运，可将其推广为二维形式：
[(1 - \lambda_p)\frac{\partial\eta}{\partial t} = -\nabla \cdot \vec{q} b + D_s - E_s]
其中，(\vec{q}_b = q {bx}\vec{i} + q_{by}\vec{j})，(q_{by}) 表示推移质的横向输运率。

对于非粘性泥沙的稀悬移质情况，沉积率 (D_s) 和侵蚀率 (E_s) 可表示为：
[D_s = v_sc_b]
[E_s = v_sE]
其中，(c_b) 是近床面湍流平均悬移质体积浓度，(E = f(R_{ep}, \tau_*)) 是无量纲挟沙率。近床面浓度可近似为 (c_b = 2C)，(C) 为深度平均浓度。

多粒径分数的埃克纳方程

在大多数情况下，水流与河床之间的泥沙交换仅限于水 - 泥沙界面附近的薄层。可定义一个较薄的活跃层或交换层，厚度为 (L_a)，通常取为特征表面粒径或沙丘高度的若干倍。基于活跃层概念，对于单个粒径分数的河床泥沙质量守恒方程为：
[(1 - \lambda_p)(f_{I_i}\frac{\partial\eta_b}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t}(L_aF_i)) = -\frac{\partial q_{b_i}}{\partial x}]
其中，(f_{I_i}) 表示第 (i) 个粒径级在活跃层与底层界面处的分数，(q_{b_i}) 是该粒径级的推移质体积输运率。将上式对所有粒径级求和，可得：
[(1 - \lambda_p)\frac{\partial\eta}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}\sum_{i = 1}^{N}q_{b_i}]
通过消去 (\eta_b)，可得到：
[(1 - \lambda_p)(\frac{\partial}{\partial t}(L_aF_i) - f_{I_i}\frac{\partial L_a}{\partial t}) = -\frac{\partial q_{b_i}}{\partial x} + f_{I_i}\frac{\partial}{\partial x}\sum_{i = 1}^{N}q_{b_i}]
考虑悬移质贡献的二维形式为：
[(1 - \lambda_p)(\frac{\partial}{\partial t}(L_aF_i) - f_{I_i}\frac{\partial L_a}{\partial t}) = -\nabla \cdot \vec{q} {b_i} + f {I_i}\nabla \cdot \sum_{i = 1}^{N}\vec{q} {b_i} + v {s_i}(c_{b_i} - E_iF_i)]
[(1 - \lambda_p)\frac{\partial\eta}{\partial t} = \sum_{i = 1}^{N}[-\nabla \cdot \vec{q} {b_i} + v {s_i}(c_{b_i} - E_iF_i)]]
界面粒径分数 (f_{I_i}) 定义为：
[f_{I_i} =
\begin{cases}
f_i| {z = \eta - L_a}, & \frac{\partial\eta}{\partial t} < 0 \
\alpha F_i + (1 - \alpha)f {b_i}, & \frac{\partial\eta}{\partial t} > 0
\end{cases}]
其中，(0 \leq \alpha \leq 1)。

4. 推移质输运关系

科学家和工程师们针对推移质输运率的估算提出了众多关系式。常见方法是将无量纲爱因斯坦数 (q_b^ = \frac{q_b}{\sqrt{RgD}D}) 与希尔兹应力 (\tau_ ) 或希尔兹应力超过临界希尔兹应力 (\tau_{ _c}) 的部分建立经验关系，即：
[q_b^ = q_b^ (\tau_ )]
或
[q_b^ = q_b^ (\tau_ - \tau_{ _c})]

以下是一些适用于均匀泥沙“平面床”条件（无床面形态）的流行推移质输运关系：
| 关系名称 | 公式 | 临界希尔兹应力 (\tau_{ _c}) |
| ---- | ---- | ---- |
| Meyer - Peter 和 M¨uller [1948] | (q_b^ = 8(\tau_ - \tau_{ c})^{\frac{3}{2}}) | 0.047 |
| Wong 和 Parker [2006] 修正关系 | (q_b^ = 4.93(\tau_ - \tau { c})^{\frac{8}{5}}) | 0.047 |
| 爱因斯坦 [1950] | (1 - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int {-(0.143 / \tau_ )^{-2}}^{+(0.143 / \tau_ )^{-2}}\exp(-t^2)dt = \frac{43.5q_b^ }{1 + 43.5q_b^ }) | - |
| Parker [1979] 拟合爱因斯坦方程 | (q_b^ = 11.2\tau_ ^{\frac{3}{2}}(1 - \frac{\tau_{ c}}{\tau })^{\frac{9}{2}}) | 0.03 |
| Ashida 和 Michiue [1972] | (q_b^ = 17(\tau_ - \tau_{ c})(\tau ^{\frac{1}{2}} - \tau_{ c}^{\frac{1}{2}})) | 0.05 |
| Engelund 和 Fredsoe [1976] | (q_b^ = 18.74(\tau_ - \tau { c})(\tau ^{\frac{1}{2}} - 0.7\tau_{*_c}^{\frac{1}{2}})) | 0.05 |

对于分选较差的泥沙，上述关系不再适用。Wilcock - Crowe 模型考虑了这种情况，定义了以下无量纲关系：
[\tau_{ i} = \frac{\tau_b}{\rho RgD_i}]
[q {b_i}^ = \frac{q_{b_i}}{\sqrt{RgD_i}D_iF_i}]
[W_{ i} = \frac{q {b_i}^ }{\tau_{ i}^{\frac{3}{2}}}]
Wilcock - Crowe 模型可表示为：
[W { i} = G(\chi_i)]
其中，
[G(\chi) =
\begin{cases}
0.002\chi^{7.5}, & \chi < 1.35 \
14(1 - \frac{0.894}{\chi^{0.5}})^{4.5}, & \chi \geq 1.35
\end{cases}]
[\chi_i = \frac{\tau { {sg}}}{\tau { {ssrg}}}(\frac{D_i}{D {sg}})^{-b}]
[\tau_{* {sg}} = \frac{\tau_b}{\rho RgD {sg}}]
[b = \frac{0.67}{1 + \exp(1.5 - \frac{D_i}{D_{sg}})}]

近期，Elhakeem 和 Imran 提出了用于非均匀泥沙输运的半经验公式：
[\Phi_{B_i} = \frac{q_{B_i}}{c_{M_i}f_{O_i}\sqrt{RgD_i}D_i} = aD_{ i}^{1.5}(\tau { g} - \tau { {cg}})^b]
其中，(D { i} = \frac{D_i}{D {sg}})，(f_{O_i}) 是底层材料中第 (i) 个粒径级的分数，(R) 是泥沙的相对比重，(\tau_{ g}’) 是泥沙混合物几何平均粒径因颗粒阻力产生的希尔兹应力，(\tau { {cg}}) 是几何平均粒径的临界希尔兹应力，(c_u) 是克莱默均匀系数：
[c_u = \frac{\int {0}^{50}f_{O_i}D_i}{\int_{0}^{100}f_{O_i}D_i}]
系数 (a) 和 (b) 分别为：
[a = 10^2\exp[-3c_u]]
[b = 2 - 0.33\tan[0.9\pi(c_u - 0.5)]]
迁移系数 (c_{M_i}) 为：
[c_{M_i} = 0.8c_u^{-0.45}(\frac{\tau_{ g}’}{\tau { {cg}}})^{1.33(c_u - 0.5)}\exp[-0.66c_u^{-0.3}(\frac{\tau { g}’}{\tau { {cg}}})^{-2.1}(\ln D {*_i} + 0.15)]]

通过以上理论和模型，我们能更深入地理解河流泥沙输运过程，为河流工程和地貌研究提供重要的理论支持。后续我们还将进一步探讨悬移质输运和阻力关系等内容。

河流泥沙输运相关理论与模型解析

5. 悬移质输运

悬移质在河流总输沙量中占比显著，一旦从河床卷起或从流域引入，便由流体湍流携带。在明渠水流中，悬移质的雷诺平均或湍流平均质量守恒方程为：
[\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial \overline{u}\overline{c}}{\partial x} + \frac{\partial \overline{v}\overline{c}}{\partial y} + \frac{\partial \overline{w}\overline{c}}{\partial z} - v_s\frac{\partial \overline{c}}{\partial z} = -\frac{\partial u’c’}{\partial x} - \frac{\partial v’c’}{\partial y} - \frac{\partial w’c’}{\partial z}]
其中，(u)、(v)、(w) 分别为 (x)、(y)、(z) 方向的速度分量，(c) 为悬移质体积浓度，(v_s) 为沉降速度。上划线表示湍流平均值，撇号表示波动分量。

对于 (x)（水流方向）和 (y)（横向）方向的稳定均匀流，上述方程简化为：
[-v_s\frac{d\overline{c}}{dz} = \frac{d}{dz}[-w’c’]]
同样，动量方程的 (x) 分量可简化为：
[0 = \frac{d}{dz}[-u’w’] + gS]
其中，(S) 为河床纵向坡度，(g) 为重力加速度。在水面（(z = H)）处净泥沙通量和切应力为零的条件下，对上述两个方程进行积分，分别得到：
[F = \rho w’c’ = v_s\overline{c}]
[\tau = -\rho u’w’ = \tau_b(1 - \frac{z}{H})]
对于稳定均匀流，床面切应力 (\tau_b) 与流场的关系为：
[\tau_b = \rho u_ ^2 = \rho gHS]
其中，(u_ ) 为剪切速度。采用涡粘模型，可将雷诺应力与水流速度的垂直梯度联系起来：
[\tau = -\rho u’w’ = \nu_t\frac{d\overline{u}}{dz}]
其中，(\nu_t) 为涡扩散率。由对数定律和上述方程可得涡扩散率的抛物线分布：
[\nu_t = \kappa u_ z(1 - \frac{z}{H})]
以无量纲形式表示为：
[\frac{\nu_t}{\kappa u_ h} = \zeta(1 - \zeta)]
其中，(\zeta = \frac{z}{H})。

与雷诺应力类似，雷诺质量通量 (-\rho w’c’) 可表示为：
[-F = -\rho w’c’ = \nu_{st}\frac{d\overline{c}}{dz}]
合理近似为 (\nu_{st} = \nu_t = \kappa u_ z(1 - \frac{z}{H}))，则平衡方程变为：
[\frac{d\overline{c}}{dz} + \frac{v_s}{\kappa u_ z}(1 - \frac{z}{H})\overline{c} = 0]
求解该方程所需的边界条件是近床面的向上通量或悬移质挟沙率：
[F| {z = b} = v_sE]
其中，(E) 为无量纲泥沙挟沙率。Rouse 求解该方程得到了明渠水流在平衡条件下悬移质浓度的分布：
[\frac{\overline{c}}{\overline{c}_b} = [\frac{(1 - \zeta)/\zeta}{(1 - \zeta_b)/\zeta_b}]^Z]
其中，(\overline{c}_b = E)，(\zeta = \frac{z}{H})，(\zeta_b = \frac{b}{H})，参考高度 (b) 通常远小于 (H)，指数 (Z = \frac{v_s}{\kappa u *}) 称为 Rouse 数。

挟沙关系

文献中提供了多种估算泥沙挟入悬移质速率的关系：
- Van Rijn [1984] 关系（均匀泥沙） ：
[E = 0.015\frac{D_{50}}{b}(\frac{\tau_{ s}}{\tau { c}} - 1)^{1.5}R {ep}^{-0.2}]
其中，(D_{50}) 为床面泥沙的中值粒径，(\tau_{ s}) 为因表面摩擦产生的希尔兹应力，(\tau { c}) 为临界希尔兹应力，(R {ep}) 为颗粒雷诺数。若存在床面形态，(b) 定义为平均床面形态高度的 0.5 倍；若不存在床面形态，(b) 取 Nikuradse 粗糙度高度 (k_s) 和 (0.01H) 中的较大值。
- García 和 Parker [1991] 关系（参考高度 (b = 0.05H)） ：
[E = \frac{AZ_u^5}{1 + (A/0.3)Z_u^5}]
[Z_u = \frac{u_{ s}}{v_s}R {ep}^{0.6}]
[A = 1.3\times10^{-7}]
其中，剪切速度 (u_{ s} = \sqrt{\frac{\tau {bs}}{\rho}})，(\tau_{bs}) 为因表面摩擦或颗粒阻力产生的切应力。
- Wright 和 Parker [2004] 修正关系（适用于大型沙质河床河流） ：
[E = \frac{AZ_u^5}{1 + (A/0.3)Z_u^5}]
[Z_u = \frac{u_{ s}}{v_s}R {ep}^{0.6}S^{0.07}]
[A = 5.7\times10^{-7}]
其中，(S) 为河床坡度。
- García 和 Parker [1991] 关系（非均匀泥沙第 (i) 粒径级） ：
[E_i = \frac{AZ_{u_i}^5}{1 + (A/0.3)Z_{u_i}^5}]
[Z_{u_i} = \lambda_m\frac{u_{ s}}{v {s_i}}R_{ep_i}^{0.6}(\frac{D_i}{D_{50}})^{0.2}]
[A = 1.3\times10^{-7}]
其中，(\lambda_m = 1 - 0.298\sigma)，(F_i) 为表面层中该粒径级的分数，(R_{ep_i} = \frac{\sqrt{RgD_i}D_i}{\nu}) 为颗粒雷诺数，(\sigma) 由相关方程定义。
- Wright 和 Parker [2004] 修正关系（非均匀泥沙第 (i) 粒径级） ：
[E_i = \frac{AZ_{u_i}^5}{1 + (A/0.3)Z_{u_i}^5}]
[Z_{u_i} = \lambda_m\frac{u_{* s}}{v {s_i}}R_{ep_i}^{0.6}(\frac{D_i}{D_{50}})^{0.2}S^{0.08}]
[A = 7.8\times10^{-7}]

6. 阻力关系

估算床面切应力对于泥沙输运计算至关重要。明渠水流中的床面切应力或边界阻力可表示为：
[\tau_b = \rho u_ ^2 = \rho C_fU^2]
其无量纲形式为：
[\tau_ = \frac{u_ ^2}{RgD} = \frac{C_fU^2}{RgD}]
其中，(u_ ) 为剪切速度，(\tau_ ) 为希尔兹应力，(U) 为深度平均速度，(C_f) 为摩擦系数，需根据可用的阻力关系进行估算。在没有床面形态的情况下，对于完全粗糙流，可直接使用以下关系估算摩擦系数：
- Keulegan 定律 [1938] ：
[C_f^{-\frac{1}{2}} = \frac{U}{u_ } = \frac{1}{\kappa}\ln(\frac{11H}{k_s})]
- Manning - Strickler 方程 ：
[C_f^{-\frac{1}{2}} = \frac{U}{u_*} = \alpha_r(\frac{H}{k_s})^{\frac{1}{6}}]
其中，无量纲系数 (\alpha_r) 在 8 到 9 之间变化。对于砾石河床河流，Parker [1991] 建议 (\alpha_r) 取值为 8.1。Keulegan 定律本质上是对数定律在 (k_s) 到 (H) 范围内的垂直积分形式，Manning - Strickler 方程是对 Keulegan 定律的抛物线拟合。在没有床面形态的情况下，粗糙度高度可近似为 (k_s \approx 2D_{s90})，其中 (D_{s90}) 是一个特征粒径，使得 90% 的床面材料比该粒径细。

总结

本文全面介绍了河流泥沙输运的相关理论和模型，涵盖了泥沙悬浮、希尔兹图、埃克纳方程、推移质输运关系、悬移质输运以及阻力关系等方面。这些理论和模型为理解河流泥沙运动规律、预测河床演变以及进行河流工程设计提供了重要的工具和方法。

通过对这些内容的深入研究，我们可以更好地掌握河流泥沙输运的机制，为解决实际工程问题和保护河流生态环境提供科学依据。例如，在河流治理工程中，可以根据推移质和悬移质输运关系，合理设计河道的坡度、宽度和粗糙度，以控制泥沙的输运和沉积，减少河床的淤积和侵蚀。同时，对于不同粒径的泥沙，采用合适的输运模型进行分析，能够更准确地预测泥沙的运动和分布，为水资源的合理利用和管理提供支持。

在未来的研究中，还可以进一步完善这些理论和模型，考虑更多的实际因素，如水流的非均匀性、床面形态的动态变化以及泥沙的粘性等，以提高模型的准确性和适用性。此外，结合现代的测量技术和数值模拟方法，对河流泥沙输运进行更深入的研究和监测，将有助于更好地应对河流泥沙问题带来的挑战。

下面用 mermaid 绘制一个简单的流程图，展示河流泥沙输运相关理论和模型的主要内容关系：

graph LR
    A[泥沙输运] --> B[泥沙悬浮]
    A --> C[希尔兹图]
    A --> D[埃克纳方程]
    A --> E[推移质输运关系]
    A --> F[悬移质输运]
    A --> G[阻力关系]
    B --> B1[均方根速度]
    B --> B2[沉降速度]
    C --> C1[临界应力]
    C --> C2[剪切雷诺数]
    D --> D1[单粒径]
    D --> D2[多粒径分数]
    E --> E1[均匀泥沙]
    E --> E2[非均匀泥沙]
    F --> F1[质量守恒方程]
    F --> F2[挟沙关系]
    G --> G1[Keulegan 定律]
    G --> G2[Manning - Strickler 方程]

这个流程图清晰地展示了河流泥沙输运各个部分之间的关系，有助于我们从整体上把握相关理论和模型的结构。