14、渐变流计算方法详解

渐变流计算方法详解

1. 引言

在水利工程等领域，准确计算渐变流的水面曲线至关重要。本文将详细介绍几种常见的计算方法，包括欧拉法、改进欧拉法、修正欧拉法、四阶龙格 - 库塔法、预测 - 校正法以及同时求解法，并分析它们的原理、优缺点和适用场景。

2. 单步方法

2.1 欧拉法

已知距离 $x_i$ 处的流深 $y_i$，要确定距离 $x_{i + 1}$ 处的流深 $y_{i + 1}$。首先根据公式计算 $x_i$ 处流深 $y$ 相对于距离 $x$ 的变化率：
$y_i’ = \frac{dy}{dx}| i = f(x_i, y_i)$
其中，$f(x_i, y_i) = \frac{S_0 - S {fi}}{1 - \frac{Q^2B_i}{gA_i^3}}$
假设该变化率 $y_i’$ 在区间 $[x_i, x_{i + 1}]$ 内为常数，可由下式确定 $x_{i + 1}$ 处的流深：
$y_{i + 1} = y_i + y_i’\Delta x$
将 $y_i’ = f(x_i, y_i)$ 代入上式可得：
$y_{i + 1} = y_i + f(x_i, y_i)\Delta x$
这就是欧拉法。通过重复此过程可确定 $x_{i + 2}$ 处的流深 $y_{i + 2}$。

欧拉法的精度分析：将 $y_{i + 1}$ 展开为泰勒级数：
$y_{i + 1} = y_i + y_i’\Delta x + O(\Delta x)^2$
对比可知，欧拉法只包含到 $\Delta x$ 的一次幂项，因