13、平面自动机同步问题研究

平面自动机同步问题研究

1. 问题定义

在平面自动机同步的研究中，有几个关键问题值得关注。
- Synch [P] 问题 ：
- 输入 ：(M, k)，其中 M 是一个同步平面自动机，k 是一个正整数。
- 问题 ：判断是否存在一个长度上限为 k 的同步字符串用于 M。
- ESynch [P] 问题 ：
- 输入 ：(M, k)，其中 M 是一个同步平面自动机，k 是一个正整数。
- 问题 ：判断 M 的最短重置长度是否等于 k。

2. 相关定理

定理 1 给出了关于上述问题的复杂度结论：
1. Synch [P] 问题是 NP 完全的。
2. 对于任意 ε > 0，在比率 (O(n^{1 - ε})) 内近似平面同步自动机的最短重置长度是 NP 难的，而比率 (O(n)) 可以在多项式时间内实现。
3. ESynch [P] 问题对于 DP 类是完全的。

3. 子集同步的参数化复杂度

子集同步是一个强大的概念，可用于建模不同类型的离散动态。例如，有一群分散在某区域的代理，若要向所有代理广播相同指令，使它们到达区域内的一个共同地点。若该区域是同步自动机的转移有向图，且不知道代理的初始位置，就需要广播底层自动机的重置字；若知道初始位置 (q_1, …, q_k)，则需要广播这些状态的同步字符串。