BZOJ2987：Earthquake(类欧几里德算法)

最新推荐文章于 2019-02-06 20:24:24 发布

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类欧几里德算法

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本文探讨了一个复杂的数学算法问题，涉及求和、取整操作及模运算，通过定义函数f(a,b,c,n)，解决了特定条件下的数学求和问题。文章详细介绍了如何根据a、b、c的正负及大小关系转换问题，最终简化为计算nm减去另一个函数调用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Sol

设 $n=⌊ca⌋n=\lfloor\frac{c}{a}\rfloor$
问题转化为求
$∑i=0n⌊c−axb⌋+1=∑i=0n⌊−ax+b+cb⌋\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{c-ax}{b}\rfloor+1=\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{-ax+b+c}{b}\rfloor$
考虑一般性的问题
设
$f(a,b,c,n)=∑i=0n⌊ax+bc⌋，c≠0f(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor，c\ne 0$

若 $c≤0c\le 0$ ，那么 $f (a, b, c, n) = f (- a, - b, - c, n)$
若 $a < 0$ 或 $b < 0$ ，那么
$\frac{n(n + 1)}{2} (\lfloor\frac{a}{c}\rfloor - 1) + (n + 1)(\lfloor\frac{b}{c}\rfloor - 1)$
若 $a > = c$ 或 $b > = c$ ，那么
$\frac{n(n + 1)}{2}\lfloor\frac{a}{c}\rfloor + (n + 1)\lfloor\frac{b}{c}\rfloor$
最后 $0≤a<c0\le a<c$ 且 $0≤b<c0\le b<c$
设 $m=⌊an+bc⌋m=\lfloor\frac{an+b}{c}\rfloor$
那么
$∑i=0n⌊ai+bc⌋=∑i=0n∑j=1m[⌊ai+bc⌋≥j]=∑i=0n∑j=0m−1[⌊ai+bc⌋≥j+1]\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor\ge j]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor\ge j+1]$
$=∑i=0n∑j=0m−1[ai≥cj+c−b]=∑i=0n∑j=0m−1[ai>cj+c−b−1]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai\ge cj+c-b]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[ai> cj+c-b-1]$
$=∑i=0n∑j=0m−1[i>⌊cj+c−b−1a⌋]=∑i=0m−1(n−⌊ci+c−b−1a⌋)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[i> \lfloor\frac{cj+c-b-1}{a}\rfloor]=\sum_{i=0}^{m-1}(n-\lfloor\frac{ci+c-b-1}{a}\rfloor)$
$=nm−∑i=0m−1⌊ci+c−b−1a⌋=nm−f(c,c−b−a,a,m−1)=nm-\sum_{i=0}^{m-1}\lfloor\frac{ci+c-b-1}{a}\rfloor=nm-f(c,c-b-a,a,m-1)$
边界是 $a = 0$ 或者 $n≤1n\le 1$

这个题直接代入就好了

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll Gcd(ll x, ll y) {
	if (!x || !y) return x + y;
	return !y ? x : Gcd(y, x % y);
}

inline ll Solve(ll a, ll b, ll c, ll n) {
	if (!a) return (n + 1) * (b / c);
	if (!n) return b / c;
	if (n == 1) return (a + b) / c + b / c;
	if (c < 0) return Solve(-a, -b, -c, n);
	register ll d = abs(Gcd(Gcd(a, b), c));
	a /= d, b /= d, c /= d;
	if (a >= c || b >= c) return Solve(a % c, b % c, c, n) + n * (n + 1) / 2 * (a / c) + (n + 1) * (b / c);
	if (a < 0 || b < 0) return Solve(a % c + c, b % c + c, c, n) + n * (n + 1) / 2 * (a / c - 1) + (n + 1) * (b / c - 1);
	register ll m = (a * n + b) / c;
	return n * m - Solve(c, c - b - 1, a, m - 1);
}

ll a, b, c, n;

int main() {
	scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &c), n = c / a;
	printf("%lld\n", Solve(-a, c + b, b, n));
    return 0;
}