21、自动机模型：从嵌入式下推自动机到双栈自动机

嵌入式与双栈自动机详解

最新推荐文章于 2025-11-19 15:16:06 发布

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自动机模型：从嵌入式下推自动机到双栈自动机

在计算理论和形式语言的研究中，自动机是一种重要的工具，用于识别和处理各种语言。本文将深入探讨几种自动机模型，包括嵌入式下推自动机（EPDA）、自底向上嵌入式下推自动机（BEPDA）、k 阶嵌入式下推自动机以及双栈自动机（2 - SA），并分析它们与树邻接文法（TAG）所生成语言的关系。

嵌入式下推自动机（EPDA）

EPDA 是下推自动机（PDA）的自然扩展，它用非空下推存储栈的栈来取代 PDA 中的单个下推存储。这种结构使得 EPDA 能够处理树邻接语言（TALs）中的交叉串行依赖，而 PDA 只能处理上下文无关语言（CFL）中的嵌套依赖。

EPDA 的定义

EPDA 由有限状态控制、单向输入带和非空栈的栈组成。有限控制始终能看到栈顶栈的顶部符号和当前输入符号，并根据这些符号和自动机的当前状态进行移动。移动分为两个部分：
1. 首先，将最顶层的栈 Υ 视为 PDA 栈进行处理，即其最顶层符号被一个新的、可能为空的栈符号序列所替换。
2. 然后，将整个栈（栈的栈）视为 PDA 栈进行处理，即由第一步操作得到的新的最顶层栈 Υ ′ 被一个包含 Υ ′ 的 k 个栈的序列所替换（k ≥ 0）。

EPDA 的接受模式有两种等价的定义方式：
1. 如果自动机在读取整个输入后以空栈结束，则接受输入 w。
2. 如果自动机在读取整个输入 w 后最终处于最终状态，则接受 w。

以下是一个接受语言 $L_4 = {a^nb^nc^nd^n | n ≥ 0}$ 的 EPDA 示例：

EPDA M = ⟨Q, Σ, Γ, δ, q0, QF, Z0⟩ ，其中
Q = {q0, q1, q2, q3}，QF = ∅，Z0 = #，Σ = {a, b, c, d}，Γ = {#, B, C, D}
Transition function δ:
δ(q0, a, #) = {(q0, ‡D, B, ε)} 
δ(q0, a, B) = {(q0, ‡D, BB, ε)}
δ(q0, b, B) = {(q1, ‡C, ε, ε)}
δ(q1, b, B) = {(q1, ‡C, ε, ε)}
δ(q1, c, C) = {(q2, ε, ε, ε)}
δ(q2, c, C) = {(q2, ε, ε, ε)}
δ(q2, d, D) = {(q3, ε, ε, ε)}
δ(q3, d, D) = {(q3, ε, ε, ε)}

对于输入 $aabbccdd$ 的识别过程如下：

(q0, ‡#, ε, aabbccdd)
⊢(q0, ‡D ‡ B, a, abbccdd)
⊢(q0, ‡D ‡ D ‡ BB, aa, bbccdd)
⊢(q1, ‡D ‡ D ‡ C ‡ B, aab, bccdd)
⊢(q1, ‡D ‡ D ‡ C ‡ C, aabb, ccdd)
⊢(q2, ‡D ‡ D ‡ C, aabbc, cdd)
⊢(q2, ‡D ‡ D, aabbcc, dd)
⊢(q3, ‡D, aabbccd, d)
⊢(q3, ε, aabbccdd, ε)

EPDA 的正式定义

一个嵌入式下推自动机（EPDA）M 是一个 7 元组 ⟨Q, Σ, Γ, δ, q0, QF, Z0⟩，其中：
- Q 是有限状态集，q0 ∈ Q 是起始状态，QF ⊆ Q 是最终状态集。
- Γ 是有限栈符号集，Z0 ∈ Γ 是初始栈符号。
- Σ 是有限输入符号集。
- δ 是转移函数 $Q × (Σ ∪ {ε}) × Γ → P_{fin}(Q × Υ^ × Γ^ × Υ^ )$，其中 $Υ = Γ^ $ 对应于栈符号的下推。

EPDA 的瞬时描述可以通过一个配置来表示，配置的类型为 $Q×Υ^ ×Σ^ ×Σ^ $，即它由当前状态 $q ∈ Q$、栈的栈 $s ∈ Υ^ $、已经识别的输入部分 $w_1 ∈ Σ^ $ 和尚未识别的部分 $w_2 ∈ Σ^ $ 组成。初始配置为 ⟨q0, ‡Z0, ε, w⟩。

EPDA 的转移定义如下：

Let ⟨Q, Σ, Γ, δ, q0, QF, Z0⟩ 是一个 EPDA，Υ = {‡γ | γ ∈ Γ^*}。
对于所有 q1, q2 ∈ Q，a ∈ (Σ ∪ {ε})，w1, w2 ∈ Σ^*，α, α1, α2 ∈ Υ^*，Z ∈ Γ，β, γ ∈ Γ^*：
a) ⟨q1, α‡βZ, w1, aw2⟩ ⊢ ⟨q2, αα1‡βγα2, w1a, w2⟩
如果 ⟨q2, α1, γ, α2⟩ ∈ δ(q1, a, Z) 且 βγ ≠ ε。
b) ⟨q1, α‡Z, w1, aw2⟩ ⊢ ⟨q2, αα1α2, w1a, w2⟩
如果 ⟨q2, α1, ε, α2⟩ ∈ δ(q1, a, Z)。
⊢* 是 ⊢ 的自反传递闭包。

EPDA 的语言定义有两种模式：
1. M 在其最终状态接受语言 $L(M)$：$L(M) = {w | ⟨q0, ‡Z0, ε, w⟩ ⊢^ ⟨q_f, α, w, ε⟩ 对于某些 $q_f ∈ Q_F$，$α ∈ Υ^ $ }$。
2. M 通过空栈接受语言 $N(M)$：$N(M) = {w | ⟨q0, ‡Z0, ε, w⟩ ⊢^* ⟨q, ε, w, ε⟩ 对于某些 $q ∈ Q$ }$。

可以证明，EPDA 通过空栈接受的语言集与通过最终状态接受的语言集相同。

EPDA 与 TAG 的关系

Vijay - Shanker（1987）证明了 EPDA 恰好接受所有树邻接语言（TALs）。虽然他没有直接给出给定 EPDA 的等价 TAG 以及反之的构造方法，但他展示了如何为给定的 EPDA 构造等价的修改头文法（MHG），反之亦然。由于 MHG 和 TAG 之间的等价性已经得到确立，这就证明了 TAG 和 EPDA 之间的等价性。

构造给定 TAG 的等价 EPDA 的思路是让 EPDA 的移动对应于 TAG 推导中节点的扩展。为每个节点假设一个栈符号，对应于下一个要扩展的节点的符号是自动机的最顶层栈符号。当邻接到一个节点时，将新辅助树的根节点符号添加到当前栈顶。当沿着辅助树的脊柱向下移动时，在当前栈的上方和下方放置新的栈，这些栈编码了邻接辅助树脊柱左右的部分。

以下是一个 TAG 及其等价 EPDA 的示例：

TAG:
Rα
c
Rβ
a F b
(Rα 和 Rβ 允许 β 的邻接。)

Equivalent EPDA:
M = ⟨Q, Σ, Γ, δ, q0, QF, Z0⟩ ，其中
Q = {q0, q1, q2, q3}，QF = ∅
Z0 = #，Σ = {a, b, c}，Γ = {#, Rα, Rβ, F, A, B, C}
Transition function δ:
⟨q, ε, R⊤α, ε⟩ ∈ δ(q, ε, #)  // 开始初始树
⟨q, ε, R⊥α, ε⟩ ∈ δ(q, ε, R⊤α)  // Rα 处无邻接
⟨q, ε, C, ε⟩ ∈ δ(q, ε, R⊥α)  // 向下移动
⟨q, ε, R⊥αR⊤β, ε⟩ ∈ δ(q, ε, R⊤α)  // β 的邻接
⟨q, ε, R⊥βR⊤β, ε⟩ ∈ δ(q, ε, R⊤β)  // β 的邻接
⟨q, ε, R⊥β, ε⟩ ∈ δ(q, ε, R⊤β)  // Rβ 处无邻接
⟨q, ‡B, F, ‡A⟩ ∈ δ(q, ε, R⊥β)  // 向下移动
⟨q, ε, ε, ε⟩ ∈ δ(q, ε, F)  // F 处无邻接，返回
⟨q, ε, ε, ε⟩ ∈ δ(q, a, A)  // 匹配输入中的 a
⟨q, ε, ε, ε⟩ ∈ δ(q, b, B)  // 匹配输入中的 b
⟨q, ε, ε, ε⟩ ∈ δ(q, c, C)  // 匹配输入中的 c
Acceptance with the empty stack.

对于输入 $aacbb$ 的示例运行如下：

Stacks             remaining input
‡#                aacbb
‡R⊤α              aacbb  // 开始遍历 α
‡R⊥αR⊤β           aacbb  // 预测 β 的邻接
‡R⊥αR⊥βR⊤β        aacbb  // 预测 β 的邻接
‡R⊥αR⊥βR⊥β        aacbb  // 预测无邻接
‡B ‡ R⊥αR⊥βF ‡ A  aacbb  // 在 β 中向下移动
‡B ‡ R⊥αR⊥βF      acbb   // 扫描 a
‡B ‡ R⊥αR⊥β       acbb   // 离开 β
‡B ‡ B ‡ R⊥αF ‡ A  acbb  // 在 β 中向下移动
‡B ‡ B ‡ R⊥αF      cbb   // 扫描 a
‡B ‡ B ‡ R⊥α       cbb   // 离开 β
‡B ‡ B ‡ C        cbb   // 在 α 中向下移动
‡B ‡ B            bb    // 扫描 c
‡B                b     // 扫描 b
ε                  ε     // 扫描 b

自底向上嵌入式下推自动机（BEPDA）

BEPDA 最早由 Schabes（1990）和 Schabes 与 Vijay - Shanker（1990）提出，作为 EPDA 的“对偶”。Rambow（1994）给出了该自动机模型的正式定义。BEPDA 接受所有树邻接语言，与用于 TAL 的 EPDA 以自顶向下的方式模拟 TAG 推导不同，BEPDA 模拟 TAL 的自底向上识别。

BEPDA 的思路是反转 EPDA 的两种移动：
1. 第一种移动是展开操作，即移除指定栈周围的栈序列，该指定栈成为新的栈顶，并且从新的栈顶弹出一个符号序列，并用单个栈符号替换。
2. 第二种可能的移动是将一个新的空栈压入栈的栈中。

对于给定的 TAG，BEPDA 首先将所有终结符移到栈的栈上，每个终结符存储在一个单独的栈中。然后进行自底向上的归约，当沿着辅助树的脊柱向上移动时，左右部分是当前栈周围的栈序列，这些序列被展开。

k 阶嵌入式下推自动机

Weir（1988，1992）将 EPDA 的概念扩展到 k 阶 EPDA。对于给定的栈符号字母表 Γ，简单栈 $γ ∈ Γ^*$ 称为一阶栈，一阶栈的栈称为二阶栈，以此类推。一般来说，(k - 1) 阶栈的栈是 k 阶栈。

k 阶 EPDA 的移动是通过取其最顶层的 (k - 1) 阶栈，以 (k - 1) 阶 EPDA 中可能的方式对其进行操作，然后在其周围包裹其他 k 阶栈来操作 k 阶栈。

这种定义导致了一个自动机层次结构，即所谓的 Weir 层次结构。该层次结构的第一类，1 阶 EPDA 就是 PDA，即恰好生成上下文无关语言。第二类，2 阶 EPDA 就是 Vijay - Shanker（1987）中的 EPDA，恰好生成树邻接语言。

双栈自动机（2 - SA）

双栈自动机（2 - SA）由 Becker（1994）引入，是 TAG 的另一种自动机模型。与 EPDA 相比，2 - SA 有两个栈，都是栈的栈，但不能像 EPDA 那样对这些栈执行嵌套操作。

2 - SA 的一般定义

2 - SA 由有限状态控制、单向输入带和两个栈组成。两个栈都可访问，可以自由地将符号压入最顶层栈。可以从栈 1 的顶部弹出符号，如果栈 1 为空，也可以从栈 2 的顶部弹出符号。但从栈 2 弹出符号的前提是栈 1 为空，这一限制对于自动机的有限生成能力至关重要。如果去掉这个限制，2 - SA 将变得过于强大，实际上是图灵完备的，因为可以使用两个栈来模拟图灵机的移动。

2 - SA 是一个 7 元组 ⟨Q, q0, Σ, Γ, ‡, Z0, δ⟩，其中：
- Q 是有限状态集，q0 ∈ Q 是起始状态。
- Σ 是有限输入符号集。
- Γ 是有限栈符号集，‡ ∉ Γ 是栈底符号，Z0 ∈ Γ 是初始栈符号。
- δ 是转移函数，$δ : Q × (Σ ∪ {ε}) × (Γ ∪ {‡}) × (Γ ∪ {‡}) → P_{fin}(Q × Ξ × Ξ)$，其中 $Ξ = {‡} ∪ Γ^ ∪ {γ_1 ‡ γ_2 | γ_1, γ_2 ∈ Γ^ }$。

转移函数 δ 满足以下限制：
1. 对于所有 $q ∈ Q$，$a ∈ Σ ∪ {ε}$，$s_1 ∈ Γ$ 和 $s_2 ∈ Γ ∪ {‡}$，$δ(q, a, s_1, s_2)$ 中的所有元素都具有 ⟨q′, ξ_1, ξ_2⟩ 的形式，其中 $ξ_1, ξ_2 ∈ Γ^ ∪ {γ_1 ‡ γ_2 | γ_1, γ_2 ∈ Γ^ }$（不能从栈 2 弹出）。
2. 对于所有 $q ∈ Q$，$a ∈ Σ ∪ {ε}$，$s_2 ∈ Γ$，$δ(q, a, ‡, s_2)$ 中的所有元素都具有 ⟨q′, ‡, γ⟩ 的形式，其中 $γ ∈ Γ^*$（如果栈 1 为空，可以从栈 2 弹出）。

2 - SA 的瞬时描述由一个元组 ⟨y, s_1, s_2, w_1, w_2⟩ 给出，其中 $q ∈ Q$ 是当前状态，$s_i ∈ {‡γ | γ ∈ Γ^ }^ $ 是第 i 个栈（1 ≤ i ≤ 2），$w_1 ∈ T^ $ 是已经消耗的输入，$w_2 ∈ T^ $ 是输入的剩余部分。

转移的定义与 PDA 类似，只是要操作两个栈。语言 $N(M)$ 被定义为自动机以两个栈都为空的方式接受的单词集合。

Becker（1994）表明 2 - SA 接受的语言类与 EPDA 相同，即树邻接语言类。

构造给定 TAG 的等价 2 - SA 的思路是模拟推导树的自顶向下、从左到右的遍历。栈 1 的顶部是下一个要扩展的节点。如果它不在脊柱上，则用其子女替换它；如果它在脊柱上，则用其子女的左部分和脊柱上的下一个节点替换它，而右部分存储在栈 2 中以供后续处理。每当栈 1 为空时，就到达了遍历中位于足节点右侧的点，即辅助树的左部分和下方的部分已经处理完毕。

2 - SA 可以推广到 n 栈自动机（n - SA），根据对 n 个栈的可访问性的限制不同，可以得到不同类型的层次结构。

综上所述，这些自动机模型为处理不同类型的语言提供了强大的工具，它们之间的关系和特点有助于我们更深入地理解形式语言和计算理论。通过不断扩展和改进自动机模型，我们可以更好地处理和识别复杂的语言结构。

自动机模型：从嵌入式下推自动机到双栈自动机

自动机模型的应用与意义

这些自动机模型在多个领域都有着重要的应用和意义，下面我们来详细探讨。

自然语言处理领域

在自然语言处理中，这些自动机模型可以用于语法分析、语义理解等任务。例如，树邻接语言（TAL）能够更好地处理自然语言中的复杂结构，如长距离依赖和交叉串行依赖。EPDA 和 BEPDA 可以用于识别 TAL，从而帮助解析自然语言句子的结构。

以英语句子 “The man who the woman loves is tall.” 为例，其中存在长距离依赖 “the man” 和 “is tall” 以及嵌套的关系 “the woman loves”。使用 EPDA 或 BEPDA 可以更准确地识别这种复杂的句子结构，从而提高自然语言处理系统的性能。

操作步骤如下：
1. 输入句子预处理 ：将输入的自然语言句子进行分词，转换为符号序列，作为自动机的输入。
2. 自动机配置初始化 ：根据自动机的定义，初始化状态、栈等参数。
3. 状态转移与处理 ：自动机根据输入符号和当前状态进行状态转移，同时操作栈。在这个过程中，根据不同的自动机模型（如 EPDA 或 BEPDA）的规则处理栈的变化。
4. 结果判断 ：当自动机处理完所有输入符号后，根据接受模式（如空栈接受或最终状态接受）判断句子是否符合相应的语言规则。

编译原理领域

在编译原理中，自动机模型用于词法分析和语法分析。上下文无关语言（CFL）和树邻接语言（TAL）可以描述编程语言的语法规则。PDA 可以用于识别 CFL，而 EPDA 和 2 - SA 可以用于处理更复杂的 TAL，帮助编译器更准确地解析源代码。

例如，对于一个简单的编程语言，其语法规则可能包含嵌套的语句块和函数调用。使用 EPDA 可以更好地处理这些复杂的语法结构，确保编译器能够正确解析源代码。

操作步骤如下：
1. 词法分析 ：将源代码进行词法分析，将其转换为词法单元序列。
2. 语法分析配置 ：根据自动机模型的定义，设置初始状态、栈和转移函数。
3. 语法分析过程 ：自动机根据词法单元序列进行状态转移和栈操作，检查源代码是否符合语法规则。
4. 错误处理与生成中间代码 ：如果自动机在处理过程中发现不符合语法规则的情况，进行错误处理；如果符合规则，则生成中间代码，为后续的编译步骤做准备。

自动机模型的性能分析

不同的自动机模型在性能上也存在差异，下面我们从时间复杂度和空间复杂度的角度进行分析。

时间复杂度

PDA ：PDA 识别上下文无关语言的时间复杂度通常为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是输入字符串的长度。这是因为在最坏情况下，PDA 需要对输入进行多次回溯和栈操作。
EPDA ：EPDA 处理树邻接语言的时间复杂度相对较高，一般为指数级。这是由于 EPDA 需要处理交叉串行依赖，栈的操作和状态转移更加复杂。
BEPDA ：BEPDA 的时间复杂度也较高，同样因为其自底向上的识别方式和栈的操作复杂性。
2 - SA ：2 - SA 的时间复杂度与 EPDA 类似，在处理树邻接语言时也具有较高的时间复杂度。

空间复杂度

PDA ：PDA 的空间复杂度主要取决于栈的使用情况，通常为 $O(n)$，其中 $n$ 是输入字符串的长度。
EPDA ：EPDA 由于使用了栈的栈，空间复杂度较高，可能达到指数级。
BEPDA ：BEPDA 的空间复杂度也较高，因为其栈的操作和存储结构较为复杂。
2 - SA ：2 - SA 使用两个栈，空间复杂度也相对较高，可能达到 $O(n^2)$ 或更高。

以下是不同自动机模型性能对比表格：
| 自动机模型 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
| — | — | — |
| PDA | $O(n^3)$ | $O(n)$ |
| EPDA | 指数级 | 指数级 |
| BEPDA | 指数级 | 较高 |
| 2 - SA | 指数级 | $O(n^2)$ 或更高 |

自动机模型的未来发展方向

随着计算机科学和人工智能的不断发展，自动机模型也有许多值得探索的未来发展方向。

模型扩展与优化

可以进一步扩展自动机模型，以处理更复杂的语言结构。例如，研究更高阶的 EPDA 或更复杂的栈操作规则，以识别具有更高复杂度的语言。同时，对现有的自动机模型进行优化，提高其时间和空间性能，使其更适用于实际应用。

与其他技术的结合

将自动机模型与深度学习、机器学习等技术相结合。例如，使用深度学习模型来预测自动机的状态转移，或者使用机器学习算法来优化自动机的转移函数。这样可以充分发挥不同技术的优势，提高语言处理的准确性和效率。

跨领域应用

探索自动机模型在更多领域的应用，如生物信息学、图像处理等。在生物信息学中，可以使用自动机模型来分析 DNA 序列的结构；在图像处理中，可以用于图像的特征提取和模式识别。

以下是自动机模型未来发展方向的流程图：

graph LR
    A[模型扩展与优化] --> B[研究更高阶 EPDA]
    A --> C[优化现有模型性能]
    D[与其他技术结合] --> E[结合深度学习]
    D --> F[结合机器学习]
    G[跨领域应用] --> H[生物信息学]
    G --> I[图像处理]

总之，自动机模型在计算理论和实际应用中都具有重要的地位。通过深入研究这些自动机模型的特点、应用和发展方向，我们可以更好地处理和识别各种复杂的语言结构，推动相关领域的发展。