23、穷举搜索算法：原理、实现与应用

穷举搜索算法：原理、实现与应用

在解决组合问题时，若没有已知的多项式时间算法，穷举搜索往往成为最后的解决方案。本文将介绍两种重要的穷举搜索算法：激光路径问题和精确覆盖问题，并探讨它们在数独游戏中的应用。

1. 激光路径问题

1.1 问题定义

假设有一个矩形网格，顶部有左右两个开口，网格内某些单元格包含双面镜子，镜子有两种可能的方向：对角线或反对角线。目标是调整镜子的方向，使从左侧开口进入的激光束能从右侧开口射出。激光束在空单元格中水平或垂直传播，遇到镜子时根据镜子方向偏转 90 度，若碰到网格边界则被吸收。

1.2 转化为最大匹配问题

该问题可以用图来建模，当且仅当激光问题有解时，图存在完美匹配（所有顶点都匹配）。每个镜子最多生成四个顶点，分别对应上、左、下、右四个方向。若镜子 a 沿方向 d 可到达镜子 b，则图中存在顶点 (a, d) 和 (b, -d) 并由边连接，其中 -d 表示 d 的相反方向。若方向 d 通向墙壁，则图中不存在顶点 (a, d)。

然而，生成的图不是二分图，计算最大匹配需使用 Jack Edmonds 的 “花与花瓣” 算法，复杂度为 $O(n^2)$，实现复杂。因此，我们提出一种在最坏情况下具有指数复杂度的替代解决方案。

1.3 算法实现

采用穷举搜索方法，为每个镜子存储三种状态：两种方向和 “无方向”。初始时，所有镜子都无方向，然后模拟激光束从左侧开口进入的路径：
- 当激光束遇到有方向的镜子时，根据镜子方向反射。
- 当遇到无方向的镜子时，对镜子的两种可能方向进行递归调用。若其中一个调用找到解，则返回该解；若都未找到