13、最短路径算法详解

最短路径算法详解

在图论中，最短路径问题是一个经典且重要的问题，旨在寻找图中两个顶点之间的最短路径。不同类型的图（如无权重图、带权重图等）需要不同的算法来解决最短路径问题。下面将详细介绍几种常见的最短路径算法。

1. 最短路径算法概述

不同类型的图和权重情况对应着不同的最短路径算法，它们的时间复杂度也有所不同，具体如下表所示：
| 图的权重情况 | 时间复杂度 | 算法名称 |
| ---- | ---- | ---- |
| 无权重 | (O(\vert E\vert)) | 广度优先搜索（BFS） |
| 权重为 0 或 1 | (O(\vert E\vert)) | 采用双端队列的 Dijkstra 算法 |
| 非负权重 | (O(\vert E\vert \log \vert V\vert)) | Dijkstra 算法 |
| 任意权重 | (O(\vert V\vert \cdot \vert E\vert)) | Bellman - Ford 算法 |
| 所有源点到所有终点的路径 | (O(\vert V\vert^3)) | Floyd - Warshall 算法 |

从这个表格可以看出，不同的图结构和权重设置，需要选择合适的算法以达到最优的时间复杂度。

2. 权重为 0 或 1 的图

2.1 定义

给定一个图，其边的权重为 0 或 1，以及一个源顶点 (s)，我们希望计算从 (s) 到其他顶点的距离。

2.2 应用

假设有一个 (N \times M) 的矩形迷宫地图，其中包含阻