11、图论中的强连通分量、2 - SAT问题与欧拉回路

图论中的强连通分量、2 - SAT问题与欧拉回路

1. 强连通分量

在有向图中，强连通分量是一个重要的概念。

1.1 定义

若有向图的一个子集 $A \subset V$ 满足：对于 $A$ 中任意一对顶点 $(u, v)$，都存在一条在 $A$ 内连接 $u$ 到 $v$ 的路径，同时也存在从 $v$ 到 $u$ 的路径，那么这个子集 $A$ 就被称为强连通分量。

1.2 分量图

将强连通分量收缩为“超级顶点”后得到的图称为分量图（或简化图）。这个图是无环的，因为有向图中的每个环都恰好包含在一个强连通分量中。

1.3 算法复杂度

有几种算法可以在线性时间 $O(|V| + |E|)$ 内找出强连通分量，下面介绍两种常见的算法。

1.4 Tarjan算法

Tarjan算法（1972年提出）通过一次深度优先搜索来实现。它按照顶点开始处理的顺序对顶点进行编号，并将遇到的顶点放入一个栈中，这些顶点等待被分组到强连通分量中。一旦检测到一个强连通分量，就将其从图中移除并从栈中弹出。

该算法为每个顶点 $v$ 计算两个值：
- dfs_num[v] ：顶点 $v$ 开始处理时分配的顺序编号。
- dfs_min[v] ：所有不在已发现的强连通分量中且可从 $v$ 通过一系列树弧（可能后跟一条回边）到达的顶点 $u$ 的 dfs_num[u] 的最小值。其定义如下：
[
dfs_min[v] := \min_{u