NKOJ P1010 能量项链(NOIP) 题解

问题描述

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 $N$ 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 $m$，尾标记为 $r$，后一颗能量珠的头标记为 $r$，尾标记为 $n$，则聚合后释放的能量为 $m\times r\times n$（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 $m$，尾标记为 $n$。需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设 $N=4$，4颗珠子的头标记与尾标记依次为 $(2，3)(3，5)(5，10)(10，2)$。我们用记号 $\oplus$ 表示两颗珠子的聚合操作，$(j\oplus k)$ 表示第 $j，k$ 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 $4,1$两颗珠子聚合后释放的能量为：$$(4\oplus 1)=10\times 2\times 3=60$$
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为$$((4\oplus 1)\oplus 2)\oplus 3）=10\times 2\times 3+10\times 3\times 5+10\times 5\times 10=710$$

输入格式

输入的第一行是一个正整数 $N（4\le N\le 100）$，表示项链上珠子的个数。
第二行是 $N$ 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000 。第 $i$ 个数为第 $i$ 颗珠子的头标记$（1\le i\le N）$，当 $i<N$ 时，第 $i$ 颗珠子的尾标记应该等于第 $i+1$ 颗珠子的头标记。第 $N$ 颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

输出只有一行，是一个正整数 $E（E\le 2.1\times 10^9）$，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入

4
2  3  5  10

样例输出

710

思路

这是一道区间 DP 题，题目和“石子合并”这道题非常像。

这一道题不可以用贪心法来做。先回顾贪心法：贪心法是从局部最优扩散到全局最优。

如果这道题能量珠没有顺序，可以任意合并，那每次选择能量最大的两个合并就可以了。但是这道题只能合并相邻的两个，所以不能贪心。

那这道题怎么用 DP 解呢？按照 DP 解题步骤，一起来推导吧！

DP 设计

定义dp[i][j]为第 $i$ 颗到第 $j$ 颗的最大能量。

那么子问题就应该为所有 $[i,k],[k+1][j]$ 中最优的方案加上 $i\oplus j$。$k$ 在这其中起到了分割区间的作用，在 $i,j$ 中滑动。

状态转移

$$dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+i\oplus j)$$

因为这道题项链为环状，所以我们要枚举最大的 $dp[i][i+n](1\le i\le n)$。这就是最后答案。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[405][405];
int n,a[205]; 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        a[n+i] = a[i];
    } 
    for(int i = 2; i <= n+1; i++){
        for(int l = 1; l+i-1 <= 2*n; l++){
            int r = l+i-1;
            for(int k = l+1; k <= l+i-2; k++){
            	dp[l][r] = max(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k][r]+a[l]*a[k]*a[r]); 
			}
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
    	res = max(res,dp[i][n+i]);
	}
    printf("%d",res);
    return 0;
}