贪心算法-线段覆盖类问题

模型1

模型描述

有若干个区间，问最少需要多少个点满足每个区间中至少有一个点。
像这样的模型，我们称之为摄像头1模型。

例题

例题：NKOJ P5220 摄像头1（例题被老师隐藏了，该链接可能打不开）

问题描述

有一个监控工程：在一条长度为L的笔直的公路上安装若干个摄像头，用于监控交通状况。我们可以把这条公路看作数轴[0,L]。
何老板承包了这项工程，但交管部门对摄像头的安置提出了n个要求，每个要求形如[x,y]，表示在[x,y]这段区间至少要安置一个摄像头。
何老板想要用尽可能少的成本完成这项工程，因此，他想知道，最少需要安装多少个摄像头？

输入格式

第一行，一个整数n，表示有n个要求需要满足。
接下来n行，每行两个整数x和y，表示一个要求，即[x,y]这段区间至少要求一个摄像头。

输出格式

一行，一个整数，表示最少所需摄像头的个数。

样例输入

4
3 6
2 4
0 2
4 7

样例输出

2

提示

$1\le n\le 100000$
$0\le x\le y\le L\le 1000000000$

思路

每个区间都有一个左端点l和右端点r。

struct camera{
	int l,r;
}c[100005];

我们按右端点从小到大排序：

bool cmp(camera a,camera b){
	return a.r < b.r;
}

接下来是重点：
我们先定义一个变量first，表示最底层的区间（如图）：

接下来用for循环判断，当c[first].r < c[i].l时，说明该区间与c[first]区间不再重叠，此时应加装摄像头，并更新first。
注意：摄像头数量应初始化为1。

for(int i = 0; i < n; i++){
	scanf("%d%d",&c[i].l,&c[i].r);
}
sort(c,c+n,cmp);
for(int i = 1; i < n; i++){
	if(c[first].r < c[i].l){
		ans++;
		first = i;
	}
}

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct camera{
	int l,r;
}c[100005];
bool cmp(camera a,camera b){
	return a.r < b.r;
}
int main(){
	int n,first = 0,ans = 1;
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 0; i < n; i++){
		scanf("%d%d",&c[i].l,&c[i].r);
	}
	sort(c,c+n,cmp);
	for(int i = 1; i < n; i++){
		if(c[first].r < c[i].l){
			ans++;
			first = i;
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

模型2

模型描述

有若干个小区间，最少选择几个小区间可以完全覆盖大区间？
像这样的模型，我们称之为摄像头2模型。

例题

例题：NKOJ P5221 摄像头2（例题被老师隐藏了，该链接可能打不开）

问题描述

NK中学里有一条长度为L的笔直道路，同学们可以把该路看作数轴，路的一段坐标为0，一段坐标为L，表示区间[0,L]

在这条路上安装有n个摄像头，每个摄像头都有一定的拍摄区间，第i个摄像头覆盖的区间为[Xi,Yi]

本着节约用电的态度，何老板想知道，最少开启几个摄像头就可以将整个这条路都置于视频监控中？请你帮他回答。

输入格式

第一行，两个整数n和L
接下来n行，每行两个整数x和y，表示一个摄像头拍摄的区域，即[x,y]这段区间被该摄像头覆盖。

输出格式

一个整数，表示最少所需开启的摄像头个数
如果无解，输出-1

样例输入 1

4 6
3 6
2 4
0 2
4 7

样例输出 1

3

样例输入 2

10 28
5 24
8 27
9 19
3 17
13 18
9 25
19 29
12 15
25 29
0 6

样例输出 2

3

提示

$1\le n\le 100000$
$1\le L\le 1000000000$
$0\le x\le y\le 1000000000$

样例说明： 选择的摄像头分别覆盖下列区间
[0,2] [2,4] [3,6]

思路

将线段按左端点从小到大排序，如果左端点相同，按右端点从大到小排序。

从左往右依次讨论每条线段，优先选择右端点大的线段。

• 记录目前已选线段中，最远能覆盖的距离nowfar。
• 讨论所有左端点<= nowfar且未被讨论的线段，记录右端点最大值maxright。
• 若maxright > nowfar，则nowfar = maxright。否则无解。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,l;
struct camera{
	int l,r;
}c[100005];
bool cmp(camera a,camera b){
	if(a.l == b.l){
		return a.r > b.r; 
	}else{
		return a.l < b.l;
	}
}
int solve(){
	if(c[1].l > 0){
		return -1;
	}
	int ans = 1;
	int nowfar = c[1].r;
	int maxright = c[1].r;
	if(nowfar >= l){
		return ans;
	}
	int i = 2;
	while(true){
		for(; (i <= n && c[i].l <= nowfar); i++){
			maxright = max(maxright,c[i].r);
		}
		if(maxright <= nowfar){
			return -1;
		}
		ans++;
		nowfar = maxright;
		if(nowfar >= l){
			return ans;
		}
	}
	return -1;
}
int main(){
	int tp;
	scanf("%d%d",&n,&l);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%d%d",&c[i].l,&c[i].r);
	}
	sort(c+1,c+n+1,cmp);
	tp = solve();
	printf("%d",tp);
	return 0;
}

模型三

模型描述

有若干个区间，最多选几个区间使它们之间两两不重叠？
像这样的模型，我们称之为摄像头3模型。

例题

例题：NKOJ P5227 摄像头3（例题被老师隐藏了，该链接可能打不开）

问题描述

NK中学里有一条长度为L的笔直道路，同学们可以把该路看作数轴，路的一段坐标为0，一段坐标为L，表示区间[0,L]

在这条路上安装有n个摄像头，每个摄像头都有一定的拍摄区间，第i个摄像头覆盖的区间为
何老板想开启其中k个摄像头，使得这k个摄像头的拍摄区间两两没有交集，问k值最大是多少？

输入格式

第一行为一个正整数$n$；

在接下来的$n$行中，每行有$2$个数 $a_i,b_i$，描述每条线段。

输出格式

输出一个整数，为$k$的最大值。

样例输入 1

10
7 8
1 7
0 3
4 9
0 6
5 7
0 3
7 8
7 10
4 7

样例输出 1

3

样例输入 2

10
0 3
1 4
15 19
1 2
1 3
2 5
4 7
2 4
3 8
7 12

样例输出 2

5

提示

对于$20\%$的数据，$n\le 10$；
对于$50\%$的数据，$n\le 10^3$；
对于$70\%$的数据，$n\le 10^5$；
对于$100\%$的数据，$n\le 10^6,0\le a_i<b_i\le 10^6$。

思路

• 将所有线段的右端点从小到大排序。
• 从左往右讨论每条线段，优先选择左端点大于上条已选线段的右端点，且右端点小的线段。
  

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct camera{
	int l,r;
}c[1000005];
bool cmp(camera a,camera b){
	return a.r < b.r;
}
int main(){
	int n,ans = 1,lastr;
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 0; i < n; i++){
		scanf("%d%d",&c[i].l,&c[i].r);
	}
	sort(c,c+n,cmp);
	lastr = c[0].r;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		if(c[i].l >= lastr){
			ans++;
			lastr = c[i].r;
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}