24、连续模型的探索与应用

连续模型的探索与应用

1. 微分方程求解

在处理微分方程时，我们常常会遇到难以精确求解的情况。例如，对于微分方程 $\frac{dx}{dt} = 1.0x(1 - \frac{x}{\sqrt{3000 - 100t}})$，使用 Mathematica 的 DSolve 无法得到精确解。此时，我们可以使用 NDSolve 进行数值求解。

1.1 使用 NDSolve 求解

以下是使用 NDSolve 求解上述微分方程的代码：

NDSolve[x'[t] == 1.0 x[t] (1 - (x[t] / (3000 - 100 t))^(1 / 2)), x[0] == 1000, x[t], {t, 0, 10}]

运行此代码后，返回的解为 { {x[t] -> InterpolatingFunction[{0., 10.}, <>][t]}} 。虽然解是一个插值函数，但通过绘图（如图 5.50）可以更好地理解其行为。

1.2 精确解与数值解的比较

精确解能提供理论洞察，且不存在近似方法带来的误差问题。然而，大多数构造的微分方程无法得到精确解。数值求解器允许我们继续进行分析，但需要明确地将所有参数表示为数字，并给出所有必要的初始条件，而且在进行近似时总是存在误差。

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