5、离散动力系统：模型与应用探索

离散动力系统：模型与应用探索

1. 可变增长率与逻辑斯谛模型

在人口增长建模中，指数模型（恒定增长率）存在明显问题。即便地球上生物（或猫王模仿者）堆积如山，该模型仍按初始增长率预测增长。为解决此问题，可考虑在一定范围内使用模型解，或用可变增长率替代恒定增长率。

此前关注的方程为 (x(n) - x(n - 1) = r x(n - 1))，现在将 (r) 视为函数，即 (x(n) - x(n - 1) = r(x(n - 1)) x(n - 1))。

1.1 逻辑斯谛模型

随着种群增加，固定资源需在更多个体间分配。合理假设是，种群增加时，因死亡增加或出生减少，增长率下降。存在一个无法超越的种群水平，即承载能力 (K)。种群接近承载能力时，增长率为零；种群较小时，增长率最大。

逻辑斯谛模型的增长率函数 (r(x)) 通过过点 ((0, R)) 和 ((K, 0)) 的直线确定，其中 (R) 为内在增长率。根据点斜式方程可得：
[r(x) - R = -\frac{R}{K}(x - 0)]
解得 (r(x) = R - \frac{Rx}{K} = R(1 - \frac{x}{K}))。

将其代入基本方程形式 (x(n) - x(n - 1) = r(x(n - 1)) x(n - 1))，得到逻辑斯谛差分方程：
[x(n) - x(n - 1) = R x(n - 1) (1 - \frac{x(n - 1)}{K})]

1.2 定点分析与稳定性

将逻辑斯谛差分方程改写为递推关系：
[x(n) = x(n - 1) (R (1 -