7、类型理论：从基础到应用

类型理论：从基础到应用

1. 范畴、函数与类型

在语义理论中，句法范畴反映了自然语言中的分布现象，而类型则充当着它们的语义对应物。这一传统观点源自弗雷格和罗素的哲学逻辑。

• 函数与类型在形式语义学中的作用 ：形式语义学从弗雷格和罗素那里继承了两个关键概念。弗雷格提出某些自然语言表达式（谓词表达式）应在语义上被分析为数学函数，为自然语言语义的数学理论发展奠定了基础。罗素引入类型理论，旨在解决悖论，并强调类型层次结构的必要性。语义学家将类型概念用作一种语义解释工具，用于解释自然语言中的分布现象。

• 范畴与类型的对应关系 ：蒙塔古为英语的一个合理片段提供了第一个系统的功能语义学。在他的系统中，自然语言范畴的表达式在语义上被表示为相应类型的对象。例如，在传统的名词短语 - 动词短语结构中，名词短语可以被语义地解析为个体，动词短语则是从个体到命题的函数。现代的范畴语法比蒙塔古的更灵活。
  | 句法范畴 | 类型 |
  | ---- | ---- |
  | 句子 | 命题 |
  | 普通名词 | 从个体到命题的函数 |
  | 动词短语 | 从个体到命题的函数 |
  | 量词短语 | 从“从个体到命题的函数”到命题的函数 |

• 类型化 lambda 演算的作用 ：在蒙塔古语义学中，英语句子直接被解释为他的内涵逻辑表达式，其基础函数概念由类型化 lambda 演算提供。所有的 lambda 演算都可以有集合论解释，也可以被视为函数的公理理论。