2、双四元数与波纹倾斜盆地太阳能蒸馏系统的技术研究

双四元数与波纹倾斜盆地太阳能蒸馏系统的技术研究

1. 双四元数在串联机械臂运动学建模中的应用

在串联机械臂的运动学建模领域，四元数和双四元数（DQ）的使用存在一些表示、手性和参考系方面的模糊性。不过，微分运动学作为逆运动学（IK）建模的常用方法，结合 DQ 和 Plücker 坐标可推导串联机械臂的几何雅可比矩阵，DQ 和四元数指数映射也能在考虑关节限制的情况下解决 IK 问题。

1.1 数学基础

• 四元数 ：采用哈密顿表示法，在右手坐标系中，四元数 $p = [p_0, p] = p_0 + p_1i + p_2j + p_3k$，其中 $p_0$ 是标量，$p = (p_1, p_2, p_3)$ 是向量。正交单位向量 $i, j, k$ 满足 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$，基于此定义四元数代数的加法和乘法。乘法不满足交换律，但满足分配律和结合律，其乘法逆元为 $p^{-1} = p^*/ |p|^2$。
• 对偶数 ：形式为 $a = a_r + \epsilon a_d$，其中 $a_r$ 是实部，$a_d$ 是对偶部，对偶单位 $\epsilon$ 满足 $\epsilon \neq 0$ 且 $\epsilon^2 = 0$，用于定义对偶数代数。
• 对偶四元数 ：表示为 $p = p_r + \epsilon p_d$，加法和乘法规则明确，有三种共轭形式，逆元存在条件为 $p_r \neq 0$，其范数计算方式也有相应公式。当 $|p_r| = 1$ 且 $p_{r0}p_{d0}