19、对称、参考系与演化：物理世界的概率视角

对称、参考系与演化：物理世界的概率视角

1. 对称生成元与概率可观测量

在物理系统中，动量 (P) 和角动量 (L) 是与对称性直接相关的可观测量。与之对应的局部可观测量算符 (\hat{P}) 和 (\hat{L}) 分别是位置平移和角位置旋转的对称生成元。对于三维旋转系统，存在三个独立的角动量生成元 (\hat{L} k)，它们满足对易关系：
[
[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\varepsilon {ijk} \hat{L} k
]
其中 (\varepsilon {ijk}) 是完全反对称张量。

经典统计系统（如广义 Ising 模型）存在与对称变换生成元相关的可观测量。这些可观测量并非在每个状态下都有固定值的经典统计可观测量，而是用于测量局部概率分布或密度矩阵的性质。在局部时间子系统中，它们由常常不对易的局部可观测量算符表示。

值得注意的是，与对称生成元相关的可观测量在量子力学中很常见。而在经典统计系统中也存在此类可观测量，这揭示了新的特征。例如，这些概率可观测量的经典关联函数通常未被定义，因此不能用于测量。

2. 参考系与洛伦兹对称性

自爱因斯坦提出狭义相对论以来，现代观点认为时间是相对的。如果物理时间由时钟系统定义，就需要明确这些时钟之间的关系。在广义相对论中，物理时间应在一般坐标变换下保持不变，并且与度量场或“度量框架”的选择无关。概率时间的设定自然地体现了这些特征。

2.1 洛伦兹对称性的体现

无质量自由费米子的连续极限表现出洛伦兹对称性。这一对称性在广义 Ising 模