6、概率世界中的基础概念与时间结构

概率世界中的基础概念与时间结构

1. 基础概念之关联与概率

关联是对世界进行概率描述的关键要素，它揭示了系统不同部分之间的联系，体现了“整体大于部分之和”的深刻哲学见解。

以伊辛自旋为例，对于四个伊辛自旋，存在四个基础可观测量、六个两个伊辛自旋的乘积、四个三个伊辛自旋的乘积以及一个四个伊辛自旋的乘积，再加上单位可观测量，总共构成 16 个关联基可观测量，形成一个完备基。

考虑两个伊辛自旋 $s_1$ 和 $s_2$，概率分布为 $p_{++} = p_{–} = 0$，$p_{+-} = p_{-+} = 1/2$。此时乘积 $s = s_1s_2$ 也是一个伊辛自旋，$s = 1$ 的概率为 $p_{++} + p_{–} = 0$，$s = -1$ 的概率为 $p_{+-} + p_{-+} = 1$，这表明两个自旋必定相反。这种性质只适用于两个自旋的组合系统，不能归因于单个自旋的性质。对于单个自旋，我们无法确定其状态，因为 $s_1 = 1$ 的概率为 $p_{++} + p_{+-} = 1/2$，$s_2$ 同理。这类似于爱因斯坦 - 罗森 - 波多尔斯基（EPR）情况，一个无自旋粒子衰变成两个半自旋费米子，总自旋为零的性质只属于组合系统，无论衰变后费米子相距多远。所谓“量子力学的不完备性”源于试图将现实赋予单个费米子的性质。

对于具有基本概率的情况，乘积伊辛自旋 $s = s_1s_2$ 与单个自旋 $s_1$ 和 $s_2$ 具有相同地位，其期望值是单个自旋的经典关联函数：
[
\langle s\rangle = \sum_{\tau} p_{\tau} s_{\tau} = \sum_{\tau} p_{\tau} s_{