22、最小测试集收集问题的可近似性研究

最小测试集收集问题的可近似性研究

1. 前期工作

在相关扩展摘要被接受后，研究人员发现许多当前呈现的结果此前已被独立得出。Moret和Shapiro早已描述了将集合覆盖问题归约为测试集收集问题的核心内容，结合集合覆盖问题的近似困难性结果，这暗示了最小测试集收集问题近似比的对数下界。

对于小测试规模的情况，C.A.J. Hurkens、J. K. Lenstra和L. Stougie的前期工作独立得出了许多近似结果，包括：针对测试规模至多为k的问题实例的O(log k)近似算法；对于测试规模至多为2的实例，贪心算法有11/8的近似保证，还有一系列采用更广泛局部搜索的改进启发式算法，其中第四个启发式算法的近似比达到7/6，第五个有更好的比率，且该系列启发式算法的近似比被推测收敛于1。不过，测试规模为2的问题的APX困难性结果表明，即使推测成立，性能比和运行时间之间的权衡也不会由多项式时间近似方案（PTAS）表示，除非P = NP。这些作者还通过从双路径打包问题的直接归约，证明了测试规模至多为2的问题的NP困难性。

2. 测试集收集问题的不同表述

测试集收集问题有三种等价的表述方式：
- 定义1 ：给定有限集S的子集集合C，找到一个最小子集合C′，使得对于S中的每对元素x和y，都存在C′中的一个集合C，该集合恰好包含x和y中的一个。
- 定义2 ：给定节点集为S的完全图和一组割集C = {C1, C2, …, Cm}，找到C的一个最小子集合C′，使得C′中所有割集的边的并集是完全图的整个边集。
- 定义3 ：给定有限集S