21、可塑任务调度与最小测试集收集问题的近似算法研究

可塑任务调度与最小测试集收集问题的近似算法研究

在当今的计算科学领域，任务调度和测试集收集问题是两个重要的研究方向。可塑任务调度旨在合理分配处理器资源，以优化任务的完成时间；而最小测试集收集问题则聚焦于从给定的测试集中选取最小的子集，以满足对元素的区分需求。下面将详细介绍这两个问题的相关研究成果。

可塑任务调度问题

可塑任务调度问题涉及到如何为一系列任务分配处理器，以最小化最大完成时间（Makespan）。相关研究提出了多个定理和算法，为解决这一问题提供了有效的方法。

1. 定理与推论

   • 定理 5 ：对于宽度受常数 $d$ 限制的优先图，存在一个伪多项式时间的精确算法来解决 Mt - Allotment 问题的决策版本。
   • 推论 2 ：对于可塑任务的最大完成时间问题，在（a）串并联优先图和（b）宽度受限的优先图的限制下，存在多项式时间近似算法，其性能保证可以任意接近 $(3 + \sqrt{5})/2$。

2. 从分配到最大完成时间（Theorem 2 的证明）

   • 考虑可塑任务问题的一个实例 $I$，定义最优分配 $\alpha^+$ 和 $\rho$-近似分配 $\alpha_A$。设 $W^+$ 和 $W_A$ 分别为这两个分配的总工作量，$L^+$ 和 $L_A$ 分别为它们的关键路径长度。由于 $\alpha_A$ 是 $\rho$-近似分配，有：