CF 919E Congruence Equation 费马小+同余(循环节)

最新推荐文章于 2025-06-12 11:33:50 发布

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分类专栏：数学 ------ 基础 Codeforces 泛做

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本文介绍了一种解决特定形式的模指数方程的方法，利用费马小定理简化计算，并通过枚举结合逆元求解，适用于p为素数的情况。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:给出a,b,p,x. p为素数.问有多少个1<=n<=x 满足n*a^n≡b(mod p)
1<=a,b<=p 1<=p<=1e6+3. 1<=x<=1e12.

因为p为素数由费马小：a^(p-1)≡1 (mod p) a^p=a *a^(p-1) ≡ a (mod p) 得a^n %p 最小循环节为p-1.
n%p的最小循环节显然为p. 那么设n=i*(p-1)+j (0<=j<p)
n*a^n≡ (i*(p-1)+j)%p * a^(i*(p-1)+j)%(p-1) ≡(j-i)*a^j ≡b (mod p)

因为1<=j<p 现在枚举j 得到 (j-i)≡b*a^-j(modp) 设右边的结果为y,则满足条件的i最小值为j-y.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,p,x;
ll qpow(ll x,ll n,ll mod)
{
	ll s=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)
			s=(s*x)%mod;
		x=(x*x)%mod; 
		n>>=1;
	}
	return s;
}
ll inv(ll x)
{
	return qpow(x,p-2,p);	
} 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>a>>b>>p>>x;
	ll res=0;
	for(ll j=1;j<p;j++)
	{
		ll y=(b*inv(qpow(a,j,p)))%p;
		ll first=((j-y+p)%p)*(p-1)+j;
		if(first>x)	continue;
		res+=(x-first)/((p-1)*p)+1;
	}
	cout<<res<<endl;
	return 0;
}