CF 893E 素因子分解+多重集排列

最新推荐文章于 2023-06-18 07:01:56 发布

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分类专栏： Codeforces 泛做数学 ------ 基础

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该博客主要探讨了CF 893E问题的解决方案，涉及素因子分解和多重集排列的概念。文章指出，最后放置偶数个负号的情况可以表示为组合的奇数项求和，即C(y,0)+C(y,2)+...，其值等于2的(y-1)次方。整个算法的时间复杂度为O(nlogn)。" 121016204,9832449,如何在Git中将dev分支的代码合并到qa分支,"['git', 'github']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:Q次询问,第i次询问(x[i],y[i]) 问有多少个长度为y[i]的序列a,其乘积正好为x[i].
Q<=1e5,x[i],y[i]<=1e6. i.e (x,y)=(4,2) ={{-4,-1},{-2,-2},{-1,-4},{1,4},{4,1},{2,2}}.

先把x进行质因数分解得到{(k1*p1,k2*p2...ki*pi} n=k[[1]+...k[i], p[i]代表x的素因子,k[i]代表x素因子的幂
先放y个1到序列中.多重集组合:第i个素因子放入y个位置的方案为 C(y+cnt-1,cnt) (cnt个1,y-1个0 总共cnt+y-1个位置先放cnt个1,剩下用0隔开则得到第一个方案)

最后放偶数个负号C(y,0)+C(y,2)+... =2^(y-1).O(nlogn).

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
ll p[N];//p[i]: min prime factor of num i.
ll num[120],f[N],pw2[N];
void init()
{
	for(int i=1;i<N;i++)
		p[i]=i;
	for(int i=2;i<N;i++)
		if(p[i]==i)
			for(int j=i+i;j<N;j+=i)
				if(p[j]==j)
					p[j]=i;
	f[0]=1,pw2[0]=1;
	for(ll i=1;i<N;i++)
		f[i]=(f[i-1]*i)%mod,pw2[i]=(pw2[i-1]*2ll)%mod;
}
ll powmod(ll x,ll n)
{
	ll s=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)
			s=(s*x)%mod;
		x=(x*x)%mod;
		n>>=1;
	}
	return s;
}
ll C(ll n,ll m)
{
	ll a=f[n],b=(f[n-m]*f[m])%mod;
	return (a*powmod(b,mod-2))%mod;
}
int main()
{
	init();
	int Q,x,y;
	scanf("%d",&Q);
	while(Q--)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(x==1)
		{
			ll ans=(pw2[y]*powmod(2ll,mod-2))%mod;
			printf("%I64d\n",ans);
			continue;
		}
		int k=0,n=0;
		memset(num,0,sizeof(num));
		while(x>1)
		{
			int d=p[x];
			++k;
			while(x%d==0)
				x/=d,num[k]++,n++;
		}
		ll ans=1;
		for(int i=1;i<=k;i++)
			ans=(ans*C(y+num[i]-1,y-1))%mod; 
		ans=(ans*(pw2[y]*powmod(2ll,mod-2)%mod))%mod;
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}