Codeforces 919E - Congruence Equation【数论-欧拉降幂】

最新推荐文章于 2022-03-21 22:06:29 发布

Dust_Heart

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分类专栏：数论文章标签： codeforces CF-919E

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本文探讨了在给定参数a、b、p的情况下，如何找出满足特定同余方程的正整数n的数量。利用费马小定理和欧拉降幂公式，通过循环节分析，提供了一种有效计算解的数目方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

E. Congruence Equation
time limit per test 3 seconds memory limit per test 256 megabytes

Problem Description

After trying hard for many years, Little Q has finally received an astronaut license. To celebrate the fact, he intends to buy himself a spaceship and make an interstellar travel.

Given an integer x. Your task is to find out how many positive integers n (1 ≤ n ≤ x) satisfy $n*a$ ^$n$ $\equiv$ $b(mod$ $p$ )

where a, b, p are all known constants.

Input

The only line contains four integers a, b, p, x (2 ≤ p ≤ 106 + 3, 1 ≤ a, b < p, 1 ≤ x ≤ 1012). It is guaranteed that p is a prime.

Output

Print a single integer: the number of possible answers n.

Examples

Input
2 3 5 8

Output
2

Input
4 6 7 13

Output
1

Input
233 233 10007 1

Output
1

Note

In the first sample, we can see that n = 2 and n = 8 are possible answers.

【题意】

求出【1，x】中满足 $n*a$ ^$n$ $\equiv$ $b(mod$ $p$ )的 $n$ 的个数。

【思路】

很容易知道 $n$ mod $p$ 的循环节为 $p$

再根据费马小定理：若 $c$ 为质数， $a$ ^{$p-1$ $\equiv$ $1$ (mod $p$ ),可以得到 $a$ ^{$n$ 的循环节为 $p-1$}}

那么我们可以得到 $n*a$ ^$n$的循环节即为 $P$ = $p*(p-1)$

因为 $a$ ^{$n$ 的循环节为 $p-1$ ，我们可以令 $n=i*(p-1)+j$ $①$}

然后我们根据欧拉降幂公式：若 $c$ 为质数， $a$ ^{$b$ mod $c$ $\equiv$ $a$ ^{b% $($ c $-$ 1 $)$ (mod $c$ )}}

那么 $n*a$ ^$n$ $\equiv$ $n*a$ ^{$n$ %( $p$ - $1$ )} $\equiv$ $b$ (mod $p$ )

所以 $n*a$ ^$j$ $\equiv$ $b$ (mod $p$ ) $③$

$i*(p-1)+j$ $\equiv$ $b*a$ ^$-j$(mod $p$ )

$i=j-b*a$ ^$-j$ $②$

于是我们就可以通过在【 $0$ ， $p-2$ 】范围内枚举 $j$ ，然后通过上面的②再算出 $i$ 代入①得到一个n，然后再判断+ $P$ 、+ $2P$ …..后是否在x范围内即可统计个数。

#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define rush() int T;scanf("%d",&T);while(T--)

typedef long long ll;
const int maxn = 200005;
const ll mod = 1e9+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;

ll a,b,p,x;

ll fast_mod(ll a,ll n,ll Mod)
{
    ll ans=1;
    a%=Mod;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=(ans*a)%Mod;
        a=(a*a)%Mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&p,&x);
    ll ans=0;
    ll Mod=p*(p-1);
    for(ll j=0;j<p-1;j++)
    {
        ll inv=fast_mod(fast_mod(a,j,p),p-2,p);  //a^j的逆元
        ll tmp=inv*b%p;
        ll i=(j-tmp+p)%p;
        ll n=(i*(p-1)+j)%Mod;
        if(n==0) n=Mod;
        ans+=x/Mod+(x%Mod>=n);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}