Games101笔记-Lecture02

Vectors（向量）

写成$\vec{a}$或者$\mathbf{a}$
或者用起点和终点的$\overrightarrow{AB}=B-A$
有长度和方向
没有绝对的起始位置

Vector Normalization（向量归一化）

向量的模(magnitude)写成$\Vert \vec{a}\Vert$
单位向量(unit vector)即是一个单位长度的向量(a vector with magnitude of 1)
获取一个向量的单位向量：$\hat{a}=\vec{a}/\Vert \vec{a}\Vert$
用于表示方向

Vector Addition（向量相加）

几何上可以用平行四边形法则或三角形法则表示
代数上用基的相加表示

Cartesian Coordinates（笛卡尔坐标）

用两个互相垂直的基来表示向量
$A=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ $A^T=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ $\Vert A\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$

Vector Multiplication（向量乘积）

dot product（点乘）

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \cos \theta$（$\theta$为两向量夹角）
$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert }$
点乘满足结合律、分配律、交换律

图形学中的点乘应用

• 得到两个向量的夹角
• 得到一个向量在另一个向量上的投影
• 分解向量
• 区分前方和后方
  

cross produce（叉乘）

• 叉乘的结果是个垂直于两个向量的向量，方向由右手螺旋定则决定

cross product in graphics

• 区分左/右
  $\vec{a}\times \vec{b}>0$，$\vec{a}$在$\vec{b}$右方，反之在左方
  
• 区分里/外
  p点在三角形里面，三个叉乘值均为正数或均为负数。在三角形外部则三个叉乘值不同号。
  $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}>0$   $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BP}>0$   $\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CP}>0$
  
• 区分凹多边形
  对凸多边形而言，例如上方的三角形，$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}和\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{CB}和\overrightarrow{CB}\times \overrightarrow{AB}同号。$
  若是凹多边形，则凹入的点的两条边向量叉乘值和其他叉乘值异号

Matrices（矩阵）

• 在图形学中被广泛应用于表达各种转换(Transformations)

Matrix-Matrix Multiplaction

• $A_{mn}{B}_{np}=C_{mp}$  其中矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，相乘结果的矩阵C行数和列数各为A的行数和B的列数
• 不支持交换律

Cross Product

向量的叉乘可以写成矩阵作用形式：
$\vec{a}\times \vec{b}=A\ast \vec{b}=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$

图片来源为课程PPT