Games101笔记-Lecture03

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#线性代数 #图形学

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本文详细介绍了齐次坐标在二维空间中的应用，如何通过齐次坐标实现点的位移操作，并探讨了向量与点的加法运算。此外，还讲解了仿射变换、放缩、旋转和位移等基本操作的矩阵表示，以及矩阵逆操作的意义。最后，提到了如何组合变换矩阵来实现复杂的几何变换，如绕某点旋转。

Homogeneous Coordinates（齐次坐标）

在一个二维的空间中，对点做位移操作无法通过二维矩阵作用完成。因此用齐次坐标来完成对所有操作的表示。

齐次坐标中：

2D Point= $y,\textcolor{orange}1)^T$ 2D Vector= $y,\textcolor{orange}0)^T$

对点进行位移操作：
$(x′y′w′)=(10tx01ty001).(xy1)=(x+txy+ty1)\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\\w^{'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+t_x\\y+t_y\\1\end{pmatrix}$

$w$ 坐标为0或1的有效操作：
vector+vector = vector
vector+point = point
point - point = vector
point + point比较特殊， $(xyw)\begin{pmatrix}x\\y\\w\end{pmatrix}$ 表示为一个2D Point $(x/wy/w1)\begin{pmatrix}x/w\\y/w\\1\end{pmatrix}$ ，其中 $w$ 不为0
因此point + point = point(两点的中点)

Affin Transformation仿射变换
$(x′y′1)=(abtxcdty001).(xy1)\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&t_x\\c&d&t_y\\0&0&1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$

Scale 放缩
$S(sx,sy)=(sx000sy0001)\bold{S}(s_x, s_y)=\begin{pmatrix}s_x&0&0\\0&s_y&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Rotation 旋转
$R(α)=(cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α0001)\bold{R}(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}&0\\\sin{\alpha}&\cos{\alpha}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$