凸包与旋转卡壳

凸包

平面凸包问题是计算几何中的一个经典问题
给出平面上的n个点，求一个最小的凸多边形，包含给出的所有点

Graham扫描法

显然易证凸包的定点一定给出的点中的若干个
可以想象平面上有若干柱子，一个人用绳子从外围将其紧紧缠绕一圈

由于凸包一定是凸多边形
如果用向量表示每条表，那么沿逆时针方向每两条相邻的边叉积一定不小于零

Graham扫描法就是基于这一点求凸包的
首先将点集按x,y为第一,二关键字升序排序

用单调栈维护凸包点集，一开始只有第一个点在栈内
枚举新的点$i$，并检查栈中第二个点和栈顶的点表示的向量与站定和当前点表示的向量 是否叉积小于0
若是则不断弹出栈顶

这样分别正序,倒叙遍历一次点集求出下凸壳与上凸壳合并即为凸包

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洛谷P2742 【模板】二维凸包 / [USACO5.1]圈奶牛Fencing the Cows

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef double dd;
#define sqr(x) ((x)*(x)) 

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=20010;
int n,m;
struct point{dd x,y;}p[maxn];
int st[maxn],top;

bool cmp(point a,point b){ 
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    else return a.x<b.x;
}

point operator -(point a,point b){ return (point){ a.x-b.x, a.y-b.y};}
dd operator *(point a,point b){ return a.x*b.y-a.y*b.x;}
dd getdis(point a,point b){ return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));}

dd solve()
{
    top=0; st[++top]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        while(top>1&&(p[i]-p[st[top]])*(p[st[top]]-p[st[top-1]])<=0) top--;
        st[++top]=i;
    }
    int tt=top;
    for(int i=n-1;i>=1;--i)
    {
        while(top>tt&&(p[i]-p[st[top]])*(p[st[top]]-p[st[top-1]])<=0) top--;
        st[++top]=i;
    }
    
    dd res=0;
    for(int i=1;i<top;++i)//此时栈内点集就是凸包上的点，st[1]和st[top]储存的都是第一个点
    res+=getdis(p[st[i]],p[st[i+1]]);
    return res;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    printf("%.2lf",solve());
    return 0;
}

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旋转卡壳

对踵点

如果过凸多边形上两点作一对平行线
使得整个多边形都在这两条线之间，那么这两个点被称为一对对踵点

凸多边形的直径

即凸多边形上任意两个点之间距离的最大值
显然易证直径一定会在对踵点中产生，如

旋转卡壳求直径

看着这张图感性意会一下吧

先求凸包(或理解为把凸多边形上的点逆时针排序)
逆时针遍历每条边找到它的对踵点(也即该边两个端点的对踵点，相当于确定平行线的其中一条为该边)
根据对踵点的定义，显然只有距离该边最远的点满足对踵点的条件
比如下图中蓝色边的对踵点只可能是距离它最远的点，即绿色边

确定了边之后，每个点到该边的距离一定是单峰函数，也即对踵点$t$一定会随边一起逆时针移动
假设当前枚举到的对踵点为$t$
若点$t+1$到当前边距离大于$t$到当前边距离，说明$t$不可能是对踵点
令$t=t+1$并继续检查，直到点$t+1$会使距离减小为止，说明$t$是当前边的对踵点，更新答案并枚举下一条边

对于距离的计算可以用叉积
假设当前边两个端点为$a,b$
因为叉积几何意义表示为这两个向量按平行四边形法则组成的平行四边形面积
所以只要比较$\overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{at}$与$\overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{a{t}_1}$的大小即可

洛谷P1452 Beauty Contest

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lt;
typedef double dd;
#define sqr(x) ((x)*(x)) 

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=50010;
int n;
struct point{dd x,y;}p[maxn],cvh[maxn];
int st[maxn],top;

bool cmp(point a,point b){ 
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    else return a.x<b.x;
}

point operator -(point a,point b){ return (point){ a.x-b.x, a.y-b.y};}
dd operator *(point a,point b){ return a.x*b.y-a.y*b.x;}
dd getdis(point a,point b){ return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));}
dd calc(point a,point b,point c){return (b-a)*(c-a);}

void Graham()
{
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    top=0; st[++top]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        while(top>1&&(p[i]-p[st[top]])*(p[st[top]]-p[st[top-1]])<=0) top--;
        st[++top]=i;
    }
    int tt=top;
    for(int i=n-1;i>=1;--i)
    {
        while(top>tt&&(p[i]-p[st[top]])*(p[st[top]]-p[st[top-1]])<=0) top--;
        st[++top]=i; 
    }
    for(int i=1;i<=top;++i) cvh[i]=p[st[i]];
}

dd getd()
{
    int t=2; dd res=0;
    for(int i=1;i<top;++i)
    {
        while(calc(cvh[i+1],cvh[i],cvh[t])<calc(cvh[i+1],cvh[i],cvh[t+1])){
            t++; if(t==top) t=1;
        }
        res=max(res,max(getdis(cvh[i],cvh[t]),getdis(cvh[i+1],cvh[t])));
    }
    return res;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    
    Graham();
    printf("%.0lf\n",sqr(getd()));
    return 0;
}