中国剩余定理 && 扩展中国剩余定理

最新推荐文章于 2025-02-27 18:07:26 发布

niiick

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分类专栏： # 中国剩余定理数学;数论文章标签：算法

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中国剩余定理

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本文详细介绍了中国剩余定理的基本概念及其应用，包括求解同余方程组的方法，并提供了扩展中国剩余定理的实现代码及示例。适用于数学算法竞赛及计算机科学领域的学习。

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中国剩余定理

问题

求解同余方程组
$\begin{cases} x\equiv\ a_1(\mod m_1) \quad \\ x\equiv\ a_2(\mod m_2) \quad \\ x\equiv\ a_3(\mod m_3) \quad \\ ...\quad \\ x\equiv\ a_k(\mod m_k) \quad \\ \end{cases}$
其中 $m_1,m_2,m_3...m_k$ 为两两互质的整数
求x的最小非负整数解

定理

令 $M=\prod_{i=1}^km_i$ ，即M是所有 $m_i$ 的最小公倍数

$t_i$ 为同余方程 $\frac{M}{m_i}t_i \equiv\ 1(\mod m_i)$ 的最小非负整数解

则有一个解为 $x=\sum_{i=1}^ka_i\frac{M}{m_i}t_i$

通解为 $x+i*M(i\in Z)$
特别的，最小非负整数解为 $(x$ % $M + M)$ % $M$

证明

因为 $\frac{M}{m_i}$ 是除 $m_i$ 之外的所有m的倍数
所以 $\forall k \not= i, a_i\frac{M}{m_i}t_i \equiv 0(\mod m_k)$
又有 $\frac{M}{m_i}t_i \equiv\ 1(\mod m_i)$
两边同时乘 $a_i$ 得 $a_i\frac{M}{m_i}t_i \equiv a_i(\mod m_i)$
带入 $x=\sum_{i=1}^ka_i\frac{M}{m_i}t_i$
原方程组成立
——算法竞赛进阶指南

代码实现

$t_i$ 同余式的求解可以用扩展欧几里得

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){ x=1; y=0; return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
}

int china()
{
    int ans=0,lcm=1,x,y;
    for(int i=1;i<=k;++i) lcm*=b[i];
    for(int i=1;i<=k;++i)
    {
        int tp=lcm/b[i];
        exgcd(tp,b[i],x,y);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];//x要为最小非负整数解
        ans=(ans+tp*x*a[i])%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}

一道模板题

洛谷P3868 [TJOI2009]猜数字题解

扩展中国剩余定理

问题

模板题洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

求解

假设已经求出前k-1个方程组成的同余方程组的一个解为x
且有 $M=LCM_{i-1}^{k-1}m_i$
则前k-1个方程的方程组通解为 $x+i*M(i\in Z)$

那么对于加入第k个方程后的方程组
我们就是要求一个正整数t，使得
$\equiv a_k(\mod m_k)$

转化一下上述式子得
$\equiv a_k-x(\mod m_k)$

对于这个式子我们已经可以通过扩展欧几里得求解t
若该同余式无解，则整个方程组无解
若有，则前k个同余式组成的方程组的一个解解为 $x_k=x+t*M$

所以整个算法的思路就是求解k次扩展欧几里得

lt exgcd(lt a,lt b,lt &x,lt &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    lt gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    lt tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}

lt excrt()
{
    lt x,y,k;
    lt M=bi[1],ans=ai[1];//第一个方程的解特判
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lt a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b;//ax≡c(mod b)
        lt gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd;
        if(c%gcd!=0) return -1; //判断是否无解
        
        x=mul(x,c/gcd,bg);
        ans+=x*M;//更新前k个方程组的答案
        M*=bg;//M为前k个m的lcm
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return (ans%M+M)%M;
}