31、多孔介质污染扩散系数重建中的梯度优化

多孔介质污染扩散系数重建中的梯度优化

1. 引言

在工业或意外导致土壤被液态挥发性有机污染物污染的背景下，研究多孔介质中的动力学过程具有重要意义。通常，这类问题会用经典的整数阶抛物型和/或常微分方程系统来建模。本文聚焦于一个简单的数学模型，用于描述污染物在气态（可移动）和液态（不可移动）相之间的非平衡传质过程。

传统的一阶时间导数在描述某些多孔介质中的异常扩散时存在局限性，因此将其替换为Caputo分数阶导数，得到的新系统类似于分形移动 - 固定模型（MIM）系统。本文的研究重点是根据测量得到的额外信息，确定未知的扩散系数 $a(x)$，采用共轭梯度法和伴随问题公式来估计时间分数阶积分 - 微分方程中的未知扩散系数。

2. 分数模型的直接和逆问题表述

在移动 - 固定模型中，溶质的扩散和对流传输通常只发生在可移动区域。近年来的研究表明，使用分数阶导数更适合描述某些多孔介质中的记忆效应和异常扩散。原系统（1） - （3）经过修改后得到：
[
\begin{cases}
\frac{\partial^{\beta}u}{\partial t^{\beta}} - \frac{\partial}{\partial x}\left(a(x)\frac{\partial u}{\partial x} - v(x)u\right) + r\alpha(x)(u - w) = 0, & \text{在 } Q_T \
\frac{\partial^{\gamma}w}{\partial t^{\gamma}} + \alpha(x)w = \alpha(x)u, & \text{在 } Q_T = \Omega \