4、声学中的波传播与相关现象解析

声学中的波传播与相关现象解析

1. 声音源的表示与合成

在声学领域，声音源的表示和合成是重要的研究内容。声音可以通过球谐函数（Spherical Harmonics, SH）进行分解和表示。
- 球谐函数展开 ：声音函数 ( f(\theta, \varphi) ) 可以展开为球谐函数的级数形式：
[ f(\theta, \varphi) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{m = -n}^{n} f_{nm} Y_{n}^{m}(\theta, \varphi) ]
其中， ( f_{nm} ) 为球谐系数， ( Y_{n}^{m}(\theta, \varphi) ) 是球谐函数。这些系数可以表示声源和接收器的归一化指向性函数 ( \Gamma(\theta, \varphi) ) ，也可以表示向外传播的声压波场 ( p(r, \theta, \varphi, t) ) 。例如，当引入适当的源强度驱动系数时，辐射的球面“模式”可以表示为：
[ p_{nm}(k, r) = f_{nm}(k) h_{n}^{(2)}(kr) ]
- 平面波的球谐表示 ：对于给定的接收点，自由场中的平面波可以用球谐分解表示为：
[ p(r, k, \theta, \varphi) = 4\pi \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} j_{n}(kr) \sum_{m = -n}^{n} Y_{n}^{m}(\theta, \varphi) Y_{n}^{m }(\theta_{0}, \varphi_{0}) ]
这个方程对于环绕声系