32、扩散系数重建中的梯度优化与瓦尔比劳村洪水模拟研究

扩散系数重建中的梯度优化与瓦尔比劳村洪水模拟研究

1. 扩散系数重建中的梯度优化

1.1 共轭系数与步长系数

在扩散系数重建问题中，共轭系数 $\gamma_n$ 起着重要作用。文献中已知 $\gamma_n$ 有多种形式，例如 Fletcher 和 Reeves 建议的常见选择为：
当 $n = 0$ 时，$\gamma_n = 0$；当 $n = 1, 2, \cdots$ 时，$\gamma_n = \frac{\int_{0}^{l}|\nabla J[a_n(x)]|^2dx}{\int_{0}^{l}|\nabla J[a_{n - 1}(x)]|^2dx}$。

为了获得系数 $\beta_n$，采用了线搜索方法，即沿指定搜索方向进行最小化：$\beta_n = \arg\min_{\beta} J(a_n(x) + \beta d_n(x))$。考虑灵敏度问题（33）、（34）、（35）（或（36）），在将目标泛函 $J(a_n(x) + \beta d_n(x))$ 关于 $\beta$ 线性化后，可类似文献 [11] 推导出搜索步长的如下选择：
$\beta_n = \frac{\sum_{i = 1}^{I}(u_n(x_i) - g_i)\delta u_n(x_i)}{\sum_{i = 1}^{I}[\delta u_n(x_i)]^2}$，其中 $u_n(x)$ 和 $\delta u_n(x)$ 分别是直接问题和灵敏度问题的解，此时 $a(x) = a_n(x)$ 且 $\delta a = d_n(x)$。

1.2 迭代停止准则

根据差异原则，当测量值和估计值之间的差异达到由测量标