28、贝叶斯统计中多维积分的格序列优化

贝叶斯统计中多维积分的格序列优化

1. 引言

现代统计学中有两种范式，一种是广为人知且应用广泛的频率主义统计学，另一种则是鲜为人知，仅被少数科学家和研究人员使用的贝叶斯统计学。即便在了解贝叶斯统计学的领域，它也未被视为一种独立的范式，无论是频率主义范式的代表，还是贝叶斯统计学的代表，都是如此。

在贝叶斯统计学的框架下，每次研究通常只有调查数据，并需要检验某些假设。某一假设为真，同时恰好得到现有数据的概率有两种表示方式：一是假设正确的概率乘以在假设为真的条件下得到该数据的概率；二是得到这些数据的概率乘以在已知这些数据的情况下假设为真的概率。实际上，除了调查数据和可检验的假设外，任何研究还会有先验信息，这可能是关于研究对象的理论知识，也可能是以往相关研究的信息。先验概率是仅根据关于研究对象的先验信息得出的假设为真的概率；抽样分布是假设为真时得到确切数据的概率；全概率是无论假设是否为真，得到确切数据的概率。

频率主义统计学和贝叶斯统计学的一个根本区别在于对概率的理解。频率主义统计学认为，概率是研究对象在无限次试验中出现的客观特征；而贝叶斯统计学则认为，概率是关于研究对象的知识（知识状态）的度量。从频率主义统计学的角度来看，概率是研究对象的内在特征；而从贝叶斯统计学的角度来看，概率并不表征对象本身，而是对它的认知。

贝叶斯统计学中一个非常重要的问题是计算机器学习、深度学习等众多领域中使用的多维积分。例如，神经网络的训练通常是基于最大似然原理最小化误差函数，而这往往涉及到特定形式的多维积分计算。Lin提出的两种多维积分形式如下：
- 第一种Lin多维积分：
[
\int_{\Omega} p_1^{u_1}(x) \cdots p_s^{u