20、有序排序逻辑与Alloy中的时态逻辑模型检查

有序排序逻辑与Alloy中的时态逻辑模型检查

1. Skolem化

在逻辑公式处理中，若一个公式的否定符号仅作用于原子公式，那么该公式处于否定范式。对于标准单排序逻辑，即使存在空排序，将否定置于∧和∨之下的德摩根定律，以及¬∃xAα和∀xA¬α之间的等价关系依然成立。这意味着每个公式在逻辑上都等价于一个否定范式的公式。

然而，由于模型可能存在空排序，量词在公式内的移动规则发生了变化。例如，当A可能为空时，((∃xAα) ∨β)和∃xA(α ∨β)（当x在β中不自由时）之间的等价关系不成立，涉及∀的对偶等价关系同样不成立。因此，一般情况下不能将量词移到公式的前面，我们通常会将公式转换为否定范式。

1.1 Skolem化的定义

设ϕ是签名L = (S, ≤, Σ)上的否定范式公式。Skolem化步骤的结果是指可以通过以下方式得到的任何公式ϕ′：如果∃xA.ψ(xA, xA1 1 , …, xAn n )是ϕ的一个子公式出现，且不在存在量词的作用域内，设f是不在Σ中的函数符号，将∃xA.ψ(x, x1, …, xn)的出现替换为ψ(f(x1, …, xn), x1, …, xn)，得到的公式即为ϕ′。需要注意的是，ϕ′是在通过向Σ⟨A1,…,An⟩,A添加f而得到的扩展签名中的公式。

公式ϕ的Skolem化是一个没有存在量词的句子，它是通过一系列这样的步骤从ϕ得到的。

1.2 Skolem化的相关引理

• 引理3表明，对于任何σ，都有σsk |= σ。
• 但与经典情况不同，“σ可满足意味着σsk可满足”这一事实并不总是成立。在单排序逻辑中，我们可以扩展σ的模型来正确解