35、离散优化与动态规划：从搜索空间到决策控制

离散优化与动态规划：从搜索空间到决策控制

1. 搜索空间景观与离散优化算法

在解决各类组合问题时，禁忌搜索方法取得了一定成功，我们不禁会思考其成功的根源和决定因素。从更广泛的角度来看，我们期望找出新设计的离散优化算法成功或失败的因素。其中一个研究方向是考察搜索空间的结构以及不同算法执行的搜索轨迹。

研究表明，解决方案算法应静态或动态地适应解空间的景观。识别特定问题的特征有助于我们设计出最适合该问题的解决方案算法，从而提高效率。

评估搜索空间景观需要定义空间 X 中解之间的距离。在欧几里得空间中，有已知的距离度量方法，但在离散解空间中，设置度量的问题要复杂得多。我们不仅要考虑度量的特征，还要考虑其计算复杂度。以下是排列之间的替代距离度量方法：
| 转换技术 α → β | 最大距离 | 平均距离 | 方差 | 复杂度 |
| — | — | — | — | — |
| 相邻交换 | n(n - 1)/2 | n(n - 1)/4 | n(n - 1)(2n + 5)/72 | O(n²) |
| 交换 | n - 1 | n - ∑(i = 1 to n) 1/i | ∑(i = 1 to n)(i - 1)/i² | O(n²) |
| 插入 | n - 1 | n - O(√n) | θ(n¹/³) | O(n log n) |

离散解空间中解和局部极小值的分布通常是不规则的。我们可以通过跟踪随机或有目标的搜索轨迹来观察这些分布，这些轨迹会经过解空间中的相邻解（相邻解之间的距离在所选度量意义下为一个单位）。为了测试空间和景观，我们使用空间的随机采样，其至少有两个目标：
- 识别解空间中包含可行解的区