2、混沌理论入门：从映射到混沌行为

混沌理论入门：从映射到混沌行为

1. 映射迭代的图形表示

在研究映射 $x_{n + 1} = f(x_n)$ 时，我们可以通过图形迭代的方法来直观地展示迭代过程。从初始值 $x_0$ 开始，我们画一条垂直线到映射的图形（在某些情况下是抛物线），然后从这个交点画一条水平线到 $y = x$ 的直线上。这样，我们就得到了映射第一次迭代的结果，同时这个结果也是下一次迭代的起点。我们可以根据需要重复这个过程。

2. 典型映射示例

• 逻辑斯谛映射（Logistic Map）
  逻辑斯谛映射是一个一维系统，其表达式为：
  $x_{n + 1} = rx_n(1 - x_n)$
  其中 $r$ 是控制参数。该映射可以看作是一个理想化的种群模型。控制参数 $r$ 对映射的行为起着关键作用，我们可以通过改变 $r$ 的值来研究映射动力学的定性变化。
• 埃农映射（Hénon Map）
  埃农映射是一个可逆的二维映射，其系统表达式为：
  $\begin{cases}
  x_{n + 1} = a - x_n^2 + y_n \
  y_{n + 1} = bx_n
  \end{cases}$
  其中 $a$ 和 $b$ 是无量纲参数。这两个映射在混沌运动的研究中都非常重要。

3. 映射的可逆性问题

• 逻辑斯谛映射的不可逆性
  如果对于给定的状态 $x_{n + 1}$，存在唯一的原像 $x_n$ 使得 $