3、混沌理论入门：从基础到奇异吸引子

混沌理论入门：从基础到奇异吸引子

1. 混沌区域与分岔图

当参数 $r$ 从 $r_{\infty}$ 到 $r = 4$ 时，映射处于混沌状态。不过，分岔图所呈现的远不止周期性和混沌行为的简单区分。图中存在明显的“窗口”，对应着整个区间 $[0,1]$ 被映射为仅 3 个值的情况，即周期 - 3 窗口。此外，还有无穷级联的周期 - $3^n$ 轨道，它们与周期 - $2^n$ 轨道精细交织。当 $r > 4$ 时，所有轨道都会趋向无穷。

2. 初始条件的敏感依赖性

若存在 $\delta > 0$，对于任意 $x \in X$ 及其任意邻域 $\sigma$，都存在 $y \in \sigma$ 和 $n \geq 0$，使得 $|f^n(x) - f^n(y)| > \delta$，则称映射 $f: X \to X$ 对初始条件具有敏感依赖性。这意味着对于给定的点 $x$，至少存在一个与之任意接近的点，经过 $n$ 次迭代后，其像与 $x$ 的像相差 $\delta$。

以帐篷映射为例，其斜率 $|\mu| = 2$ 恒定。设两点 $x,y \in A = (0,1)$，且 $y = x + \delta_0$（$\delta_0 > 0$ 为初始间距）。经过 $m$ 次迭代后，间距 $\delta_m = |\mu^m|\delta_0$，由于 $\mu, m > 1$，显然 $\delta_m > \delta_0$。

也可以换个角度理解初始条件的敏感性。假设点 $x_0$ 属于直径为 $2^{-k}$ 的子区间，经过 $k$ 次迭代后，该子区间会被映射到整个状态空间 $A$，对于 $n \g