29、氢原子的量子特性与波函数解析

氢原子的量子特性与波函数解析

1. 氢原子的能量本征值

氢原子的能量本征值在量子物理中具有重要意义。通过一系列推导，我们得到了能量本征值的表达式。首先，有公式：
[
\lambda = n = Z\alpha\left(-\frac{m_ec^2}{2E}\right)^{\frac{1}{2}}
]
求解主量子数 (n) 可得能量表达式：
[
E_n = -Z^2(m_ec^2)\alpha^2\cdot\frac{1}{2n^2}=-\left(\frac{Z^2e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)\frac{1}{2n^2a_0}
]
这正是之前推导过的玻尔能量。用精细结构常数表示玻尔能量十分方便，因为电子的静止能量 (m_ec^2 = 0.511MeV) 为大家所熟知。当 (Z = 1) 时，(E_1 = -13.6eV)。在原子单位制中，由于 (\alpha c\equiv1)，玻尔能量可表示为：
[
E_n = -\frac{Z}{2n^2}(a.u.)
]
设定 (n = j + \ell + 1) 相当于在特定级数展开中取 (j) 项后终止级数。因为 (j) 的最小值为 0，所以得到 (\ell\leq n - 1) 的关系。通常用 (n_r) 表示级数终止时的项数，即径向量子数，那么 (n = n_r + \ell + 1)。

2. 能量本征值的简并度

氢原子能量本征值与量子数 (\ell) 无关，这导致了意外简并现象，类似于各向同性谐振子的额外简并情况。为了求出简并度 (g_H)，我们需要对给定主量子数 (n) 的所有